Номер 288, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 288, страница 85.

288 Даны неразвёрнутый угол ABC и отрезок PQ. Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла и удалённых от прямой ВС на расстояние PQ?

Пусть искомое множество точек — это $M$. По определению, любая точка $X$, принадлежащая множеству $M$, должна одновременно удовлетворять двум условиям: она должна лежать внутри неразвёрнутого угла $ABC$, и её расстояние до прямой $BC$ должно быть равно длине отрезка $PQ$.

Сначала рассмотрим второе условие. Геометрическое место точек, равноудалённых от некоторой прямой, — это пара прямых, параллельных данной. Таким образом, множество всех точек, удалённых от прямой $BC$ на расстояние, равное длине отрезка $PQ$ (обозначим эту длину как $h = |PQ|$), состоит из двух прямых, $l_1$ и $l_2$, параллельных $BC$ и расположенных на расстоянии $h$ от неё по разные стороны.

Теперь учтём первое условие: точки должны лежать внутри угла $ABC$. Внутренняя область угла $ABC$ — это пересечение двух полуплоскостей, одна из которых задается прямой $BC$ и содержит точку $A$, а другая — прямой $BA$ и содержит точку $C$.

Из двух параллельных прямых $l_1$ и $l_2$ только одна может находиться в той же полуплоскости относительно прямой $BC$, что и точка $A$. Пусть это прямая $l_1$. Прямая $l_2$ полностью находится вне внутренней области угла, поэтому мы её не рассматриваем. Следовательно, искомое множество точек является подмножеством прямой $l_1$.

Поскольку угол $ABC$ неразвёрнутый, его стороны, лучи $BA$ и $BC$, не лежат на одной прямой и не параллельны. Прямая $l_1$ параллельна прямой $BC$, значит, она не параллельна прямой $BA$ и пересекает её в некоторой точке. Назовём эту точку пересечения $K$. Точка $K$ лежит на луче $BA$.

Искомые точки должны лежать на прямой $l_1$ и одновременно внутри угла $ABC$. Это означает, что они должны находиться в полуплоскости, ограниченной прямой $BA$ и содержащей точку $C$. Эта часть прямой $l_1$ представляет собой луч с началом в точке $K$.

Наконец, определим, входит ли точка $K$ в искомое множество. Условие "лежать внутри угла" обычно подразумевает, что точки не принадлежат его сторонам. Точка $K$ лежит на луче $BA$, то есть на одной из сторон угла. Следовательно, точка $K$ не принадлежит искомому множеству.

Таким образом, искомое множество точек — это луч, параллельный стороне $BC$, с началом на стороне $BA$, причём само начало луча в множество не входит. Такой объект называется открытым лучом.

Ответ: Искомое множество точек представляет собой открытый луч (луч без своего начала). Этот луч параллелен стороне угла $BC$, а его начало лежит на стороне $BA$.