Номер 282, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 282, страница 85.

282 Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.

Дано:

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB$ и $BC$.

По определению равнобедренного треугольника, $AB = BC$. Также, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Пусть точка $M$ — середина основания $AC$. Это означает, что $AM = MC$.

Доказать:

Необходимо доказать, что точка $M$ равноудалена от боковых сторон $AB$ и $BC$.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Проведем из точки $M$ перпендикуляры $MH$ к стороне $AB$ и $MK$ к стороне $BC$.

Таким образом, нам нужно доказать, что $MH = MK$.

Доказательство:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые у нас образовались: $\triangle AMH$ (где $\angle MHA = 90^\circ$) и $\triangle CMK$ (где $\angle MKC = 90^\circ$).

Сравним эти два треугольника:

1. Гипотенузы $AM$ и $MC$ равны, так как $M$ — середина отрезка $AC$ по условию ($AM = MC$).
2. Острые углы $\angle HAM$ и $\angle KCM$ равны, так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$ ($\angle HAM = \angle KCM$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AMH$ и $\triangle CMK$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В данном случае нас интересуют катеты $MH$ и $MK$.

Катет $MH$ в треугольнике $\triangle AMH$ лежит напротив угла $\angle HAM$.

Катет $MK$ в треугольнике $\triangle CMK$ лежит напротив угла $\angle KCM$.

Поскольку углы $\angle HAM$ и $\angle KCM$ равны, то и лежащие напротив них катеты $MH$ и $MK$ также равны.

Итак, $MH = MK$, что означает, что точка $M$ находится на одинаковом расстоянии от сторон $AB$ и $BC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.