Номер 275, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Прямоугольные треугольники. 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 275, страница 80.

275 Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные от резки.

Анализ задачи

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и сторонами-лучами $l_1$ и $l_2$. Внутри угла расположена точка $A$. Требуется построить прямую, проходящую через точку $A$, которая пересекает стороны угла $l_1$ и $l_2$ в точках $B$ и $C$ соответственно, так, чтобы отрезки, отсекаемые от вершины, были равны: $OB = OC$.

Условие $OB = OC$ означает, что треугольник $BOC$, образованный искомой прямой и сторонами угла, является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине ($?BOC$) является также медианой и высотой, проведенной к основанию. Следовательно, биссектриса угла $O$ должна быть перпендикулярна искомой прямой $BC$. Это свойство и является ключом к построению.

Построение

1. С помощью циркуля и линейки строим биссектрису $k$ данного угла с вершиной $O$. Для этого проводим циркулем дугу с центром в точке $O$, которая пересекает стороны угла в двух точках. Затем из этих двух точек проводим две дуги одинакового радиуса до их пересечения. Прямая, проходящая через вершину $O$ и точку пересечения дуг, является биссектрисой угла.
2. Строим прямую, проходящую через точку $A$ и перпендикулярную биссектрисе $k$. Для этого можно, например, установить острие циркуля в точку $A$ и провести дугу, пересекающую биссектрису $k$ в двух точках. Затем из этих двух точек как из центров провести две дуги одинакового радиуса до их пересечения. Прямая, соединяющая точку $A$ и новую точку пересечения дуг, будет перпендикулярна биссектрисе $k$.

Полученная прямая, проходящая через точку $A$ перпендикулярно биссектрисе угла, является искомой.

Доказательство

Пусть построенная прямая $m$ проходит через точку $A$, пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$, а биссектрису $k$ — в точке $M$. Рассмотрим треугольники $\triangle OMB$ и $\triangle OMC$.

• $OM$ — общая сторона.
• $?BOM = ?COM$, так как луч $OM$ является биссектрисой угла $BOC$.
• $?OMB = ?OMC = 90°$, так как прямая $m$ (содержащая отрезок $BC$) была построена перпендикулярно биссектрисе $k$ (содержащей отрезок $OM$).

Следовательно, треугольники $\triangle OMB$ и $\triangle OMC$ равны по катету и прилежащему острому углу (или по второму признаку равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $OB = OC$. Так как прямая $m$ по построению проходит через точку $A$, она удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через точку $A$ и перпендикулярная биссектрисе данного угла. Построение сводится к построению биссектрисы угла и последующему построению перпендикуляра к этой биссектрисе, проходящего через данную точку $A$.