Страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

271 На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что ОА = ОВ. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссектриса угла О.

Рассмотрим треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$, образованные сторонами угла, перпендикулярами и отрезком $OC$.

По условию задачи, через точку $A$ проведена прямая, перпендикулярная стороне угла $OA$. Это означает, что угол между прямой $AC$ и лучом $OA$ является прямым, то есть $\angle OAC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle OAC$ является прямоугольным.

Аналогично, через точку $B$ проведена прямая, перпендикулярная стороне угла $OB$. Это означает, что угол $\angle OBC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle OBC$ также является прямоугольным.

Теперь сравним эти два прямоугольных треугольника:
1. Сторона $OC$ является общей для обоих треугольников. В прямоугольных треугольниках $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$ она является гипотенузой.
2. Катет $OA$ треугольника $\triangle OAC$ равен катету $OB$ треугольника $\triangle OBC$ по условию задачи ($OA = OB$).

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, равны углы, лежащие напротив равных катетов $AC$ и $BC$. Следовательно, угол $\angle AOC$ равен углу $\angle BOC$.

Поскольку луч $OC$ исходит из вершины угла $\angle AOB$ и делит его на два равных угла ($\angle AOC = \angle BOC$), то по определению луч $OC$ является биссектрисой угла $O$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Рассмотрев прямоугольные треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$, мы установили, что они равны по гипотенузе (общая сторона $OC$) и катету ($OA = OB$ по условию). Из равенства треугольников следует равенство углов $\angle AOC = \angle BOC$, что по определению означает, что луч $OC$ является биссектрисой угла $O$.

272 Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.

Рассмотрим два остроугольных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть по условию сторона $AC$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $A_1C_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, то есть $AC = A_1C_1$.

Также по условию равны высоты, проведенные из концов этих сторон. Пусть $h_c$ – высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$, а $h_a$ – высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$. Аналогично, в $\triangle A_1B_1C_1$ пусть $h_{c1}$ – высота из $C_1$ к $A_1B_1$, а $h_{a1}$ – высота из $A_1$ к $B_1C_1$. Таким образом, дано, что $h_c = h_{c1}$ и $h_a = h_{a1}$.

Необходимо доказать, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

1. Выразим высоту $h_c$ через сторону $AC$ и угол $\angle A$. Высота $h_c$ является катетом в прямоугольном треугольнике, образованном этой высотой, стороной $AC$ (которая является гипотенузой) и частью стороны $AB$. Угол, противолежащий катету $h_c$ в этом прямоугольном треугольнике, – это угол $\angle A$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:$\sin(\angle A) = \frac{h_c}{AC}$, откуда $h_c = AC \cdot \sin(\angle A)$.

Аналогично для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$:$h_{c1} = A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)$.

2. По условию $h_c = h_{c1}$ и $AC = A_1C_1$. Приравняем правые части выражений для высот:$AC \cdot \sin(\angle A) = A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)$.Поскольку $AC = A_1C_1$ и эти длины не равны нулю, мы можем сократить их и получить:$\sin(\angle A) = \sin(\angle A_1)$.

3. Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ по условию остроугольные. Это означает, что все их углы острые, то есть лежат в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$. На этом интервале функция синуса монотонно возрастает, поэтому если синусы двух таких углов равны, то равны и сами углы. Следовательно:$\angle A = \angle A_1$.

4. Теперь повторим рассуждения для высот $h_a$ и $h_{a1}$. Высота $h_a$ является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой служит сторона $AC$, а противолежащим углом — угол $\angle C$. Таким образом:$\sin(\angle C) = \frac{h_a}{AC}$, откуда $h_a = AC \cdot \sin(\angle C)$.

Аналогично для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$:$h_{a1} = A_1C_1 \cdot \sin(\angle C_1)$.

5. По условию $h_a = h_{a1}$ и $AC = A_1C_1$. Снова приравниваем выражения:$AC \cdot \sin(\angle C) = A_1C_1 \cdot \sin(\angle C_1)$.Сократив равные стороны, получаем:$\sin(\angle C) = \sin(\angle C_1)$.

6. Так как углы $\angle C$ и $\angle C_1$ также являются острыми, из равенства их синусов следует равенство самих углов:$\angle C = \angle C_1$.

7. В итоге мы установили, что для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ выполняются следующие условия:

• $AC = A_1C_1$ (по условию)
• $\angle A = \angle A_1$ (доказано)
• $\angle C = \angle C_1$ (доказано)

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам, или ASA), $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Равенство треугольников доказано на основании признака равенства по стороне и двум прилежащим к ней углам.

273 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

Формулировка утверждения

Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых углы $\angle C$ и $\angle C_1$ являются прямыми ($\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$).

Пусть по условию катет $AC$ равен катету $A_1C_1$, а противолежащий ему угол $\angle B$ равен углу $\angle B_1$.

Дано:
1. $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — прямоугольные.
2. $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.
3. $AC = A_1C_1$ (равные катеты).
4. $\angle B = \angle B_1$ (равные противолежащие углы).

Требуется доказать: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:
Сумма острых углов в любом прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
Для треугольника $\triangle ABC$ имеем: $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Отсюда $\angle A = 90^\circ - \angle B$.
Для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ имеем: $\angle A_1 + \angle B_1 = 90^\circ$. Отсюда $\angle A_1 = 90^\circ - \angle B_1$.

Поскольку по условию $\angle B = \angle B_1$, то из полученных равенств следует, что $\angle A = \angle A_1$.

Теперь мы можем сравнить треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам):

1. $AC = A_1C_1$ (по условию).
2. $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ (по условию, что треугольники прямоугольные).
3. $\angle A = \angle A_1$ (как доказано выше).

Сторона $AC$ и прилежащие к ней углы $\angle A$ и $\angle C$ треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны стороне $A_1C_1$ и прилежащим к ней углам $\angle A_1$ и $\angle C_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников (или по признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение "Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны" доказано.

274 Докажите, что △ABС = △А₁В₁С₁, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и ВH = В₁H₁, где ВH и В₁H₁ — высоты △ABC и △A₁B₁C₁.

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ воспользуемся данными из условия задачи: $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$ и равенство высот $BH = B_1H_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$. Они являются прямоугольными, так как $BH$ и $B_1H_1$ — высоты, а значит $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$. Следовательно, $\angle AHB = 90^\circ$ и $\angle A_1H_1B_1 = 90^\circ$.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

• $BH = B_1H_1$ (по условию). Это равенство катетов.
• $\angle A = \angle A_1$ (по условию). Это равенство острых углов, противолежащих равным катетам.

Прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ равны по катету и противолежащему острому углу. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в частности, гипотенуз:
$AB = A_1B_1$.

2. Теперь рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Для них мы имеем:

• $\angle A = \angle A_1$ (по условию).
• $AB = A_1B_1$ (доказано в предыдущем пункте).
• $\angle B = \angle B_1$ (по условию).

Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ доказано на основании равенства их высот $BH$ и $B_1H_1$ и двух соответствующих углов $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Сначала доказывается равенство прямоугольных треугольников $\triangle ABH = \triangle A_1B_1H_1$ (по катету и противолежащему углу), из которого следует равенство сторон $AB = A_1B_1$. Затем, используя второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), доказывается, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

275 Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные от резки.

Анализ задачи

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и сторонами-лучами $l_1$ и $l_2$. Внутри угла расположена точка $A$. Требуется построить прямую, проходящую через точку $A$, которая пересекает стороны угла $l_1$ и $l_2$ в точках $B$ и $C$ соответственно, так, чтобы отрезки, отсекаемые от вершины, были равны: $OB = OC$.

Условие $OB = OC$ означает, что треугольник $BOC$, образованный искомой прямой и сторонами угла, является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине ($?BOC$) является также медианой и высотой, проведенной к основанию. Следовательно, биссектриса угла $O$ должна быть перпендикулярна искомой прямой $BC$. Это свойство и является ключом к построению.

Построение

1. С помощью циркуля и линейки строим биссектрису $k$ данного угла с вершиной $O$. Для этого проводим циркулем дугу с центром в точке $O$, которая пересекает стороны угла в двух точках. Затем из этих двух точек проводим две дуги одинакового радиуса до их пересечения. Прямая, проходящая через вершину $O$ и точку пересечения дуг, является биссектрисой угла.
2. Строим прямую, проходящую через точку $A$ и перпендикулярную биссектрисе $k$. Для этого можно, например, установить острие циркуля в точку $A$ и провести дугу, пересекающую биссектрису $k$ в двух точках. Затем из этих двух точек как из центров провести две дуги одинакового радиуса до их пересечения. Прямая, соединяющая точку $A$ и новую точку пересечения дуг, будет перпендикулярна биссектрисе $k$.

Полученная прямая, проходящая через точку $A$ перпендикулярно биссектрисе угла, является искомой.

Доказательство

Пусть построенная прямая $m$ проходит через точку $A$, пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$, а биссектрису $k$ — в точке $M$. Рассмотрим треугольники $\triangle OMB$ и $\triangle OMC$.

• $OM$ — общая сторона.
• $?BOM = ?COM$, так как луч $OM$ является биссектрисой угла $BOC$.
• $?OMB = ?OMC = 90°$, так как прямая $m$ (содержащая отрезок $BC$) была построена перпендикулярно биссектрисе $k$ (содержащей отрезок $OM$).

Следовательно, треугольники $\triangle OMB$ и $\triangle OMC$ равны по катету и прилежащему острому углу (или по второму признаку равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $OB = OC$. Так как прямая $m$ по построению проходит через точку $A$, она удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через точку $A$ и перпендикулярная биссектрисе данного угла. Построение сводится к построению биссектрисы угла и последующему построению перпендикуляра к этой биссектрисе, проходящего через данную точку $A$.

276 Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен 5 см. Найдите медиану этого треугольника, проведённую к гипотенузе.

Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен 5 см. Обозначим этот катет как $a$, а гипотенузу как $c$.

В прямоугольном треугольнике существует свойство, согласно которому катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Математически это записывается как: $a = \frac{1}{2} c$

Используя это свойство и данные из условия ($a = 5$ см), мы можем вычислить длину гипотенузы $c$: $c = 2 \cdot a = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Далее необходимо найти медиану, проведённую к гипотенузе. Обозначим эту медиану как $m_c$. Согласно другому свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы. $m_c = \frac{1}{2} c$

Так как мы уже нашли, что гипотенуза $c = 10$ см, мы можем вычислить длину медианы: $m_c = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Ответ: 5 см.

277 Две вершины треугольника являются концами диаметра окружности, а третья вершина лежит на окружности. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ являются концами этого диаметра, а вершина $C$ лежит на окружности. Необходимо доказать, что треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Для доказательства воспользуемся свойством вписанного угла.

Способ 1: Использование теоремы о вписанном угле.

Угол $\angle ACB$ является вписанным в окружность, так как его вершина $C$ лежит на окружности, а стороны $AC$ и $BC$ пересекают окружность. Этот угол опирается на дугу $AB$.

По условию, хорда $AB$ является диаметром окружности. Диаметр делит окружность на две полуокружности. Градусная мера полуокружности составляет $180^\circ$.

Согласно теореме о вписанном угле, величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

Следовательно, величина угла $\angle ACB$ равна:
$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Так как один из углов треугольника $ABC$ равен $90^\circ$, то этот треугольник является прямоугольным. Что и требовалось доказать.

Способ 2: Использование свойств медианы.

Проведем отрезок $OC$ из центра окружности $O$ к вершине $C$. Точка $O$ является серединой диаметра $AB$. Таким образом, отрезок $OC$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AB$.

Так как $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности с центром $O$, отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ являются радиусами этой окружности. Значит, $OA = OB = OC = r$, где $r$ — радиус окружности.

Мы видим, что длина медианы $OC$ равна половине длины стороны $AB$, к которой она проведена ($OC = r$, $AB = 2r$).

Существует свойство: если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник — прямоугольный, а угол, противолежащий этой стороне, — прямой.

Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle C$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Данный треугольник является прямоугольным, поскольку угол, вписанный в окружность и опирающийся на её диаметр, является прямым, то есть равен $90^\circ$.

278 К гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС с углом 15° проведены медиана СМ и высота CH. Найдите АВ, если CH = 4.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$. Пусть один из острых углов, для определенности $\angle A$, равен $15^\circ$. Тогда другой острый угол $\angle B$ будет равен $90^\circ - \angle A = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.

$CM$ — это медиана, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Согласно свойству медианы прямоугольного треугольника, ее длина равна половине длины гипотенузы: $CM = AM = BM = \frac{1}{2}AB$.

Из равенства $CM = AM$ следует, что треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно: $\angle ACM = \angle CAM = \angle A = 15^\circ$.

$CH$ — это высота, проведенная к гипотенузе $AB$, значит, $CH \perp AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (где $\angle CHA = 90^\circ$). Сумма острых углов в этом треугольнике равна $90^\circ$, поэтому: $\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.

Теперь мы можем найти величину угла $\angle MCH$, который образован медианой $CM$ и высотой $CH$. Этот угол представляет собой разность углов $\angle ACH$ и $\angle ACM$: $\angle MCH = \angle ACH - \angle ACM = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $CMH$. Он является прямоугольным, так как $CH$ — высота и, следовательно, $\angle CHM = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известен катет $CH = 4$ и прилежащий к нему острый угол $\angle MCH = 60^\circ$. Мы можем найти гипотенузу $CM$ данного треугольника, используя тригонометрическую функцию косинуса: $\cos(\angle MCH) = \frac{CH}{CM}$

Из этой формулы выразим длину медианы $CM$: $CM = \frac{CH}{\cos(\angle MCH)} = \frac{4}{\cos(60^\circ)}$

Мы знаем, что значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение: $CM = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 2 = 8$

Поскольку медиана $CM$ равна половине гипотенузы $AB$, мы можем найти искомую длину $AB$: $AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 8 = 16$.

Ответ: 16