Страница 75 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

252 На рисунке 136 AB=АС, AP=AQ. Докажите, что:

а) треугольник ВОС равнобедренный;

б) прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.

а) треугольник BOC равнобедренный;

Рассмотрим треугольники $\triangle ABQ$ и $\triangle ACP$.

В них:

$AB = AC$ (по условию).
$AP = AQ$ (по условию).
$\angle A$ — общий.

Следовательно, $\triangle ABQ = \triangle ACP$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle ABQ = \angle ACP$.

Поскольку треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным ($AB = AC$), то углы при его основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$.

Рассмотрим углы $\angle OBC$ и $\angle OCB$. Они являются частями углов $\angle ABC$ и $\angle ACB$ соответственно. Мы можем записать:

$\angle OBC = \angle ABC - \angle ABQ$

$\angle OCB = \angle ACB - \angle ACP$

Так как правые части этих равенств равны ($\angle ABC = \angle ACB$ и $\angle ABQ = \angle ACP$), то равны и левые части: $\angle OBC = \angle OCB$.

В треугольнике $\triangle BOC$ углы при основании $BC$ равны. По признаку равнобедренного треугольника, $\triangle BOC$ является равнобедренным, и, следовательно, боковые стороны $OB$ и $OC$ равны.

Ответ: Утверждение доказано, треугольник $BOC$ является равнобедренным.

б) прямая OA проходит через середину основания BC и перпендикулярна к нему.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$.

В них:

$AB = AC$ (по условию).
$OB = OC$ (доказано в пункте а)).
$AO$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABO = \triangle ACO$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle BAO = \angle CAO$.

Это означает, что отрезок $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$ в равнобедренном треугольнике $\triangle ABC$.

По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также медианой и высотой.

• Как медиана, отрезок, проведенный из точки $A$ через точку $O$ к стороне $BC$, делит основание $BC$ пополам, то есть проходит через его середину.
• Как высота, этот же отрезок перпендикулярен основанию $BC$.

Следовательно, прямая $OA$ проходит через середину основания $BC$ и перпендикулярна к нему.

Ответ: Утверждение доказано, прямая $OA$ проходит через середину основания $BC$ и перпендикулярна к нему.

253 Существует ли треугольник со сторонами: а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм?

Для того чтобы определить, существует ли треугольник с заданными сторонами, необходимо воспользоваться неравенством треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей, оставшейся стороны.

Если обозначить длины сторон как $a$, $b$ и $c$, то должны одновременно выполняться три условия:
$a + b > c$
$a + c > b$
$b + c > a$
Для проверки достаточно убедиться, что сумма длин двух самых коротких сторон больше длины самой длинной стороны.

а) Даны стороны длиной 1 м, 2 м и 3 м.
Самая длинная сторона равна 3 м. Две другие стороны — 1 м и 2 м.
Проверим выполнение неравенства треугольника: сравним сумму длин двух меньших сторон с длиной большей стороны.
$1 + 2$ ? $3$
$3 = 3$
Сумма двух сторон равна третьей стороне, а не строго больше её. Это означает, что такой треугольник не существует. Если попытаться построить его, все три вершины окажутся на одной прямой (такой случай называют вырожденным треугольником).
Ответ: нет, не существует.

б) Даны стороны длиной 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм.
Самая длинная сторона равна 2,4 дм. Две другие стороны — 1,2 дм и 1 дм.
Проверим выполнение неравенства треугольника для этих сторон:
$1,2 + 1$ ? $2,4$
$2,2 < 2,4$
Сумма двух сторон оказалась меньше третьей стороны. Неравенство треугольника не выполняется.
Ответ: нет, не существует.

254 В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая из них является основанием?

В равнобедренном треугольнике две из трех сторон равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием. В задаче даны стороны длиной 25 см и 10 см. Это означает, что у треугольника либо две стороны по 25 см и одна 10 см, либо две стороны по 10 см и одна 25 см. Чтобы определить, какой из вариантов верный, необходимо использовать неравенство треугольника.

Неравенство треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда должна быть больше длины третьей стороны. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Боковые стороны равны 25 см, а основание — 10 см.

В этом случае стороны треугольника имеют длины 25 см, 25 см и 10 см. Проверим для них неравенство треугольника:

Сумма двух боковых сторон больше основания: $25 + 25 > 10$ ( $50 > 10$ ) — верно.

Сумма боковой стороны и основания больше другой боковой стороны: $25 + 10 > 25$ ( $35 > 25$ ) — верно.

Так как все условия выполняются, треугольник с такими сторонами может существовать.

Случай 2: Боковые стороны равны 10 см, а основание — 25 см.

В этом случае стороны треугольника имеют длины 10 см, 10 см и 25 см. Проверим для них неравенство треугольника:

Сумма двух боковых сторон должна быть больше основания: $10 + 10 > 25$ ( $20 > 25$ ) — неверно.

Поскольку сумма двух сторон оказалась меньше третьей, треугольник с такими сторонами существовать не может.

Таким образом, единственно возможным является первый случай, где боковые стороны равны 25 см.

Ответ: Основанием является сторона длиной 10 см.

255 Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 см; б) 8 см и 2 см; в) 10 см и 5 см.

Для решения этой задачи необходимо использовать два ключевых правила геометрии: определение равнобедренного треугольника и неравенство треугольника.

• В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Это означает, что неизвестная третья сторона должна быть равна одной из двух данных сторон.
• Неравенство треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда должна быть строго больше длины третьей стороны. Если стороны треугольника обозначить как $a, b$ и $c$, то должны выполняться все три условия: $a+b > c$, $a+c > b$ и $b+c > a$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Даны стороны 7 см и 3 см.
Третья сторона может быть равна либо 3 см, либо 7 см.
Вариант 1: Стороны треугольника равны 3 см, 3 см и 7 см.
Проверим неравенство треугольника: достаточно проверить, больше ли сумма двух меньших сторон третьей. $3 + 3 > 7$. Это неравенство ложно, так как $6 \ngtr 7$. Следовательно, треугольник с такими сторонами не существует.
Вариант 2: Стороны треугольника равны 7 см, 7 см и 3 см.
Проверим неравенство: $7 + 3 > 7$. Это неравенство истинно, так как $10 > 7$. Следовательно, такой треугольник существует.
Ответ: 7 см.

б) Даны стороны 8 см и 2 см.
Третья сторона может быть равна либо 2 см, либо 8 см.
Вариант 1: Стороны треугольника равны 2 см, 2 см и 8 см.
Проверим неравенство: $2 + 2 > 8$. Это неравенство ложно, так как $4 \ngtr 8$. Такой треугольник не существует.
Вариант 2: Стороны треугольника равны 8 см, 8 см и 2 см.
Проверим неравенство: $8 + 2 > 8$. Это неравенство истинно, так как $10 > 8$. Такой треугольник существует.
Ответ: 8 см.

в) Даны стороны 10 см и 5 см.
Третья сторона может быть равна либо 5 см, либо 10 см.
Вариант 1: Стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 10 см.
Проверим неравенство: $5 + 5 > 10$. Это неравенство ложно, так как $10$ не больше $10$. В этом случае треугольник вырождается в отрезок, а не является полноценным треугольником.
Вариант 2: Стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 5 см.
Проверим неравенство: $10 + 5 > 10$. Это неравенство истинно, так как $15 > 10$. Такой треугольник существует.
Ответ: 10 см.

256 Докажите неравенство о длине ломаной. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.

Докажем данное утверждение, известное как неравенство о длине ломаной, методом математической индукции по числу звеньев ломаной.

Пусть дана ломаная $A_1A_2...A_{n+1}$, состоящая из $n$ звеньев (отрезков): $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_nA_{n+1}$. Концами ломаной являются точки $A_1$ и $A_{n+1}$. Длина ломаной $L$ — это сумма длин её звеньев: $L = |A_1A_2| + |A_2A_3| + \dots + |A_nA_{n+1}|$. Длина отрезка, соединяющего её концы, — это $|A_1A_{n+1}|$. Необходимо доказать, что $L \ge |A_1A_{n+1}|$.

База индукции

Рассмотрим ломаную, состоящую из $n=1$ звена, то есть отрезок $A_1A_2$. В этом случае длина ломаной равна $|A_1A_2|$, и отрезок, соединяющий её концы, — это тот же самый отрезок $A_1A_2$. Неравенство принимает вид $|A_1A_2| \ge |A_1A_2|$, что является верным равенством.

В качестве базы можно также взять случай $n=2$. Ломаная $A_1A_2A_3$ состоит из двух звеньев. Её длина равна $|A_1A_2| + |A_2A_3|$. Отрезок, соединяющий концы, — $A_1A_3$. Для трёх точек $A_1, A_2, A_3$ справедливо неравенство треугольника: $|A_1A_2| + |A_2A_3| \ge |A_1A_3|$. Утверждение верно.

Индукционное предположение

Предположим, что неравенство верно для любой ломаной, состоящей из $k$ звеньев ($k \ge 1$). То есть для ломаной $A_1A_2...A_{k+1}$ выполняется: $|A_1A_2| + |A_2A_3| + \dots + |A_kA_{k+1}| \ge |A_1A_{k+1}|$.

Индукционный шаг

Докажем, что неравенство верно для ломаной, состоящей из $k+1$ звена, то есть для ломаной $A_1A_2...A_{k+2}$. Длина этой ломаной: $L_{k+1} = |A_1A_2| + |A_2A_3| + \dots + |A_kA_{k+1}| + |A_{k+1}A_{k+2}|$.

Мы можем представить эту длину как сумму длины ломаной из $k$ звеньев и длины последнего звена: $L_{k+1} = (|A_1A_2| + \dots + |A_kA_{k+1}|) + |A_{k+1}A_{k+2}|$.

К выражению в скобках, представляющему собой длину ломаной $A_1A_2...A_{k+1}$, мы можем применить индукционное предположение: $(|A_1A_2| + \dots + |A_kA_{k+1}|) \ge |A_1A_{k+1}|$.

Следовательно, для длины всей ломаной из $k+1$ звена получаем: $L_{k+1} \ge |A_1A_{k+1}| + |A_{k+1}A_{k+2}|$.

Теперь рассмотрим три точки: $A_1$, $A_{k+1}$ и $A_{k+2}$. Они образуют треугольник (или лежат на одной прямой). Для них справедливо неравенство треугольника: $|A_1A_{k+1}| + |A_{k+1}A_{k+2}| \ge |A_1A_{k+2}|$.

Объединяя полученные неравенства, приходим к заключению: $L_{k+1} \ge |A_1A_{k+1}| + |A_{k+1}A_{k+2}| \ge |A_1A_{k+2}|$, что означает $L_{k+1} \ge |A_1A_{k+2}|$.

Это доказывает утверждение для ломаной из $k+1$ звена. Таким образом, по принципу математической индукции, неравенство о длине ломаной доказано для любого числа звеньев.

Ответ: Утверждение доказано. Длина любой ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы. Равенство достигается тогда и только тогда, когда все вершины ломаной лежат на отрезке, соединяющем её концы, и расположены на нём в порядке следования.

257 Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.

Пусть дан треугольник. По свойству смежных углов, внешний угол треугольника при некоторой вершине и внутренний угол при той же вершине в сумме дают $180^\circ$.

Пусть внутренние углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Тогда соответствующие им внешние углы равны $180^\circ - \alpha$, $180^\circ - \beta$ и $180^\circ - \gamma$.

По условию, два внешних угла при разных вершинах равны. Предположим, что равны внешние углы при вершинах с внутренними углами $\alpha$ и $\beta$. Тогда мы можем записать равенство: $180^\circ - \alpha = 180^\circ - \beta$

Вычитая $180^\circ$ из обеих частей уравнения, получаем: $-\alpha = -\beta$, что эквивалентно $\alpha = \beta$.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то этот треугольник является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, также равны. Таким образом, мы установили, что данный треугольник — равнобедренный.

Теперь рассмотрим вторую часть условия. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из его сторон равна 16 см. В равнобедренном треугольнике две стороны равны (боковые), а третья может иметь другую длину (основание). Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Известная сторона (16 см) является основанием треугольника.

В этом случае две другие (боковые) стороны равны друг другу. Обозначим их длину как $a$. Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + a + 16$ Подставим известное значение периметра: $74 = 2a + 16$ $2a = 74 - 16$ $2a = 58$ $a = 29$ см.

Мы получили треугольник со сторонами 16 см, 29 см, 29 см. Проверим, выполняется ли для него неравенство треугольника (сумма длин двух любых сторон должна быть больше третьей стороны):

• $29 + 29 > 16$ ($58 > 16$ — верно)
• $29 + 16 > 29$ ($45 > 29$ — верно)

Этот случай возможен.

Случай 2: Известная сторона (16 см) является боковой стороной.

В этом случае, так как треугольник равнобедренный, другая боковая сторона также равна 16 см. Третью сторону (основание) обозначим как $b$. Периметр треугольника: $P = 16 + 16 + b$ Подставим известное значение периметра: $74 = 32 + b$ $b = 74 - 32$ $b = 42$ см.

Мы получили треугольник со сторонами 16 см, 16 см, 42 см. Проверим для него неравенство треугольника: $16 + 16 > 42$ $32 > 42$ — неверно.

Треугольник с такими сторонами существовать не может, так как сумма двух его сторон меньше третьей.

Следовательно, единственно возможным является первый случай. Стороны треугольника равны 16 см, 29 см и 29 см. Так как одна сторона по условию равна 16 см, то две другие стороны равны 29 см и 29 см.

Ответ: две другие стороны треугольника равны 29 см и 29 см.

258 Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника.

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны $a$, $a$ и $b$, где $a$ – длина боковой стороны, а $b$ – длина основания.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + a + b = 2a + b$. По условию, периметр равен 25 см, следовательно, мы имеем первое уравнение: $2a + b = 25$

Далее, в условии сказано, что один из внешних углов треугольника — острый. Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$. Если внешний угол острый (меньше $90^\circ$), то соответствующий ему внутренний угол должен быть тупым (больше $90^\circ$).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы угол при основании был тупым, то в треугольнике было бы два тупых угла (так как их два и они равны), что невозможно, поскольку сумма всех углов треугольника равна $180^\circ$. Следовательно, тупым может быть только угол при вершине, который находится между боковыми сторонами.

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как угол при вершине является тупым и, следовательно, наибольшим углом в треугольнике, то противолежащая ему сторона (основание $b$) является самой длинной стороной. Таким образом, мы можем утверждать, что $b > a$.

По условию, разность двух сторон равна 4 см. Учитывая, что в треугольнике только две различные по длине стороны ($a$ и $b$) и что $b > a$, эта разность может быть записана как: $b - a = 4$ Отсюда мы можем выразить $b$ через $a$: $b = a + 4$

Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1) $2a + b = 25$ 2) $b = a + 4$

Подставим второе уравнение в первое: $2a + (a + 4) = 25$ $3a + 4 = 25$ $3a = 25 - 4$ $3a = 21$ $a = \frac{21}{3}$ $a = 7$ см

Теперь найдем длину основания $b$, используя второе уравнение: $b = 7 + 4 = 11$ см

Таким образом, мы получили, что боковые стороны треугольника равны 7 см, а основание равно 11 см. Проверим, удовлетворяет ли такой треугольник неравенству треугольника (сумма двух любых сторон должна быть больше третьей): $7 + 7 > 11$ ( $14 > 11$ ) — верно. $7 + 11 > 7$ — верно. Стороны найдены верно.

Ответ: стороны треугольника равны 7 см, 7 см и 11 см.