Номер 258, страница 75 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 34. Неравенство треугольника. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 258, страница 75.

258 Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника.

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны $a$, $a$ и $b$, где $a$ – длина боковой стороны, а $b$ – длина основания.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + a + b = 2a + b$. По условию, периметр равен 25 см, следовательно, мы имеем первое уравнение: $2a + b = 25$

Далее, в условии сказано, что один из внешних углов треугольника — острый. Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$. Если внешний угол острый (меньше $90^\circ$), то соответствующий ему внутренний угол должен быть тупым (больше $90^\circ$).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы угол при основании был тупым, то в треугольнике было бы два тупых угла (так как их два и они равны), что невозможно, поскольку сумма всех углов треугольника равна $180^\circ$. Следовательно, тупым может быть только угол при вершине, который находится между боковыми сторонами.

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как угол при вершине является тупым и, следовательно, наибольшим углом в треугольнике, то противолежащая ему сторона (основание $b$) является самой длинной стороной. Таким образом, мы можем утверждать, что $b > a$.

По условию, разность двух сторон равна 4 см. Учитывая, что в треугольнике только две различные по длине стороны ($a$ и $b$) и что $b > a$, эта разность может быть записана как: $b - a = 4$ Отсюда мы можем выразить $b$ через $a$: $b = a + 4$

Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1) $2a + b = 25$ 2) $b = a + 4$

Подставим второе уравнение в первое: $2a + (a + 4) = 25$ $3a + 4 = 25$ $3a = 25 - 4$ $3a = 21$ $a = \frac{21}{3}$ $a = 7$ см

Теперь найдем длину основания $b$, используя второе уравнение: $b = 7 + 4 = 11$ см

Таким образом, мы получили, что боковые стороны треугольника равны 7 см, а основание равно 11 см. Проверим, удовлетворяет ли такой треугольник неравенству треугольника (сумма двух любых сторон должна быть больше третьей): $7 + 7 > 11$ ( $14 > 11$ ) — верно. $7 + 11 > 7$ — верно. Стороны найдены верно.

Ответ: стороны треугольника равны 7 см, 7 см и 11 см.