Номер 262, страница 79 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Прямоугольные треугольники. 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 262, страница 79.

262 В прямоугольном треугольнике ABC c прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС + AB = 18 см. Найдите АС и AB.

1. Нахождение внутреннего угла A
Внешний угол при вершине $A$ и внутренний угол $A$ (угол $BAC$) являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Зная, что внешний угол по условию равен $120^\circ$, находим внутренний угол треугольника при этой вершине:
$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Установление связи между сторонами AC и AB
В прямоугольном треугольнике $ABC$ (где $\angle C = 90^\circ$) катет $AC$ является прилежащим к углу $A$, а $AB$ — гипотенузой. Их отношение определяется через косинус угла $A$:
$\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB}$.
Подставим значение угла $A = 60^\circ$:
$\cos(60^\circ) = \frac{AC}{AB}$.
Так как значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, получаем:
$\frac{1}{2} = \frac{AC}{AB}$.
Отсюда следует, что $AB = 2 \cdot AC$.

3. Вычисление длин сторон
Нам дано условие: $AC + AB = 18$ см.
Подставим в это уравнение выражение для $AB$, полученное на предыдущем шаге ($AB = 2 \cdot AC$):
$AC + 2 \cdot AC = 18$.
$3 \cdot AC = 18$.
Находим длину катета $AC$:
$AC = \frac{18}{3} = 6$ см.
Теперь находим длину гипотенузы $AB$:
$AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: $AC = 6$ см, $AB = 12$ см.