Номер 267, страница 79 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Прямоугольные треугольники. 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 267, страница 79.

267 В треугольниках ABC и А₁В₁С₁ углы А и А₁ — прямые, BD и В₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что △ABС = △А₁В₁С₁, если ∠B = ∠B₁ и ВD = В₁D₁.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$.

По условию задачи, углы $\angle A$ и $\angle A_1$ в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ являются прямыми, то есть $\angle A = \angle A_1 = 90^\circ$. Это означает, что треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ также являются прямоугольными.

В условии сказано, что $BD$ — биссектриса угла $\angle B$, следовательно, $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle B$. Аналогично, $B_1D_1$ — биссектриса угла $\angle B_1$, поэтому $\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$.

Так как по условию $\angle B = \angle B_1$, то и половины этих углов равны: $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. У них равны:
1. Гипотенузы $BD = B_1D_1$ (по условию).
2. Острые углы $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$ (как доказано выше).
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих катетов: $AB = A_1B_1$.

Далее рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Они являются прямоугольными. Для доказательства их равенства воспользуемся признаком равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу.

Мы имеем:
1. Катет $AB$ равен катету $A_1B_1$ (из доказанного равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$).
2. Прилежащий к этому катету острый угол $\angle B$ равен углу $\angle B_1$ (по условию).
Таким образом, условия признака равенства выполняются.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ доказано.