Номер 264, страница 79 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Прямоугольные треугольники. 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 264, страница 79.

264 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Угол, противолежащий основанию, равен $\angle B = 120^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны:
$\angle A = \angle C = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. По условию, $AH = 9$ см. Поскольку угол $\angle ABC = 120^\circ$ является тупым, высота $AH$ будет лежать вне треугольника и опускаться на продолжение стороны $BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. В нем катет $AH$ лежит напротив угла $\angle C = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Гипотенузой в $\triangle AHC$ является основание $AC$ исходного треугольника.
Следовательно, $AH = \frac{1}{2} AC$.

Отсюда мы можем найти основание $AC$:
$AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Проверка другим способом:
Рассмотрим треугольник $ABH$. Угол $\angle ABH$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle ABH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle AHB = 90^\circ$), мы можем найти боковую сторону $AB$:
$\sin(60^\circ) = \frac{AH}{AB} \implies AB = \frac{AH}{\sin(60^\circ)} = \frac{9}{\sqrt{3}/2} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ см.
Теперь, зная две стороны ($AB=BC=6\sqrt{3}$) и угол между ними ($\angle B = 120^\circ$), найдем основание $AC$ по теореме косинусов для треугольника $ABC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ)$
$AC^2 = (6\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (6\sqrt{3}) \cdot (6\sqrt{3}) \cdot (-\frac{1}{2})$
$AC^2 = 108 + 108 - 2 \cdot 108 \cdot (-\frac{1}{2}) = 216 + 108 = 324$
$AC = \sqrt{324} = 18$ см.
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 18 см.