Номер 271, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Прямоугольные треугольники. 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 271, страница 80.

271 На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что ОА = ОВ. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссектриса угла О.

Рассмотрим треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$, образованные сторонами угла, перпендикулярами и отрезком $OC$.

По условию задачи, через точку $A$ проведена прямая, перпендикулярная стороне угла $OA$. Это означает, что угол между прямой $AC$ и лучом $OA$ является прямым, то есть $\angle OAC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle OAC$ является прямоугольным.

Аналогично, через точку $B$ проведена прямая, перпендикулярная стороне угла $OB$. Это означает, что угол $\angle OBC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle OBC$ также является прямоугольным.

Теперь сравним эти два прямоугольных треугольника:
1. Сторона $OC$ является общей для обоих треугольников. В прямоугольных треугольниках $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$ она является гипотенузой.
2. Катет $OA$ треугольника $\triangle OAC$ равен катету $OB$ треугольника $\triangle OBC$ по условию задачи ($OA = OB$).

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, равны углы, лежащие напротив равных катетов $AC$ и $BC$. Следовательно, угол $\angle AOC$ равен углу $\angle BOC$.

Поскольку луч $OC$ исходит из вершины угла $\angle AOB$ и делит его на два равных угла ($\angle AOC = \angle BOC$), то по определению луч $OC$ является биссектрисой угла $O$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Рассмотрев прямоугольные треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$, мы установили, что они равны по гипотенузе (общая сторона $OC$) и катету ($OA = OB$ по условию). Из равенства треугольников следует равенство углов $\angle AOC = \angle BOC$, что по определению означает, что луч $OC$ является биссектрисой угла $O$.