Номер 278, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 3. Прямоугольные треугольники. 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников - номер 278, страница 80.

Условие.

278 К гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС с углом 15° проведены медиана СМ и высота CH. Найдите АВ, если CH = 4.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$. Пусть один из острых углов, для определенности $\angle A$, равен $15^\circ$. Тогда другой острый угол $\angle B$ будет равен $90^\circ - \angle A = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.

$CM$ — это медиана, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Согласно свойству медианы прямоугольного треугольника, ее длина равна половине длины гипотенузы: $CM = AM = BM = \frac{1}{2}AB$.

Из равенства $CM = AM$ следует, что треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно: $\angle ACM = \angle CAM = \angle A = 15^\circ$.

$CH$ — это высота, проведенная к гипотенузе $AB$, значит, $CH \perp AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (где $\angle CHA = 90^\circ$). Сумма острых углов в этом треугольнике равна $90^\circ$, поэтому: $\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.

Теперь мы можем найти величину угла $\angle MCH$, который образован медианой $CM$ и высотой $CH$. Этот угол представляет собой разность углов $\angle ACH$ и $\angle ACM$: $\angle MCH = \angle ACH - \angle ACM = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $CMH$. Он является прямоугольным, так как $CH$ — высота и, следовательно, $\angle CHM = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известен катет $CH = 4$ и прилежащий к нему острый угол $\angle MCH = 60^\circ$. Мы можем найти гипотенузу $CM$ данного треугольника, используя тригонометрическую функцию косинуса: $\cos(\angle MCH) = \frac{CH}{CM}$

Из этой формулы выразим длину медианы $CM$: $CM = \frac{CH}{\cos(\angle MCH)} = \frac{4}{\cos(60^\circ)}$

Мы знаем, что значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение: $CM = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 2 = 8$

Поскольку медиана $CM$ равна половине гипотенузы $AB$, мы можем найти искомую длину $AB$: $AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 8 = 16$.

Ответ: 16