Номер 284, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 284, страница 85.

284 Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.

Пусть дан отрезок $AB$ и точка $M$ — его середина. По определению середины отрезка, $AM = MB$. Через точку $M$ проведена произвольная прямая $l$. Необходимо доказать, что концы отрезка, точки $A$ и $B$, равноудалены от прямой $l$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведём из точек $A$ и $B$ перпендикуляры к прямой $l$. Пусть $A_1$ и $B_1$ — основания этих перпендикуляров на прямой $l$. Тогда длина отрезка $AA_1$ — это расстояние от точки $A$ до прямой $l$, а длина $BB_1$ — расстояние от точки $B$ до прямой $l$. Требуется доказать, что $AA_1 = BB_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AA_1M$ и $\triangle BB_1M$. Так как $AA_1 \perp l$ и $BB_1 \perp l$ по построению, оба эти треугольника являются прямоугольными, с прямыми углами $\angle AA_1M = 90^\circ$ и $\angle BB_1M = 90^\circ$.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

1. Гипотенуза $AM$ треугольника $\triangle AA_1M$ равна гипотенузе $BM$ треугольника $\triangle BB_1M$, так как $M$ — середина отрезка $AB$ по условию ($AM = BM$).
2. Угол $\angle A_1MA$ равен углу $\angle B_1MB$, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямой $l$ и отрезка $AB$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AA_1M$ и $\triangle BB_1M$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон. Катет $AA_1$ треугольника $\triangle AA_1M$ соответствует катету $BB_1$ треугольника $\triangle BB_1M$. Следовательно, $AA_1 = BB_1$.

Это означает, что расстояния от концов отрезка $A$ и $B$ до прямой $l$ равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Расстояния от концов отрезка до прямой, проходящей через его середину, равны. Это следует из равенства двух прямоугольных треугольников, образованных перпендикулярами, опущенными из концов отрезка на прямую. Эти треугольники равны по гипотенузе (половина данного отрезка) и острому углу (вертикальные углы при середине отрезка).