Номер 285, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 285, страница 85.

285 Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 3 см, а между параллельными прямыми a и с равно 5 см. Найдите расстояние между прямыми b и с.

По условию задачи, прямая a параллельна прямой b ($a \parallel b$), и прямая a параллельна прямой c ($a \parallel c$). Согласно свойству транзитивности параллельности прямых, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Следовательно, прямая b параллельна прямой c ($b \parallel c$).

Расстояние между параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую. Обозначим расстояние между прямыми $x$ и $y$ как $d(x, y)$. Нам дано, что $d(a, b) = 3$ см и $d(a, c) = 5$ см. Задача допускает два возможных решения, так как расположение прямых b и c относительно прямой a не уточнено.

Случай 1: Прямые b и c расположены по одну сторону от прямой a.

В этом случае прямые b и c находятся в одной полуплоскости, определяемой прямой a. Расстояние между ними будет равно модулю разности их расстояний до прямой a. Так как $d(a, c) > d(a, b)$, то возможны два подварианта: либо прямая b находится между a и c, либо прямая a между b и c. В обоих подвариантах расстояние между b и c вычисляется как разность большего и меньшего расстояний от этих прямых до общей прямой a.

Расстояние $d(b, c)$ равно: $d(b, c) = |d(a, c) - d(a, b)| = |5 \text{ см} - 3 \text{ см}| = 2 \text{ см}$.

Ответ: 2 см.

Случай 2: Прямые b и c расположены по разные стороны от прямой a.

В этом случае прямая a проходит между прямыми b и c. Чтобы найти расстояние между b и c, необходимо сложить их расстояния до прямой a, так как перпендикуляр, соединяющий прямые b и c, будет состоять из двух отрезков, равных по длине расстояниям от b до a и от a до c.

Расстояние $d(b, c)$ в этом случае равно: $d(b, c) = d(a, b) + d(a, c) = 3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Ответ: 8 см.

Таким образом, задача имеет два возможных ответа в зависимости от взаимного расположения прямых.