Номер 280, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 280, страница 85.

280 В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найдите расстояние от вершины А до прямой ВС.

Решение:

1. По условию, треугольник $ABC$ — равносторонний. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$, то есть $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

2. В треугольнике проведена биссектриса $AD$. Она делит угол $A$ пополам: $\angle CAD = \angle BAD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная из вершины, является также медианой и высотой.

3. Так как $AD$ — высота, то она перпендикулярна стороне $BC$ ($AD \perp BC$). Расстояние от вершины $A$ до прямой $BC$ по определению равно длине этого перпендикуляра, то есть длине отрезка $AD$. Таким образом, задача сводится к нахождению длины $AD$.

4. По условию, расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ равно 6 см. Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим из точки $D$ перпендикуляр $DH$ на прямую $AC$. Тогда $DH = 6$ см, и треугольник $DHC$ является прямоугольным ($\angle DHC = 90^\circ$).

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DHC$. В нем известен катет $DH=6$ см и противолежащий ему угол $\angle C=60^\circ$. Мы можем найти гипотенузу $DC$, используя синус угла $C$:
$\sin(\angle C) = \frac{DH}{DC}$
Отсюда:
$DC = \frac{DH}{\sin(\angle C)} = \frac{6}{\sin(60^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ ($\angle ADC = 90^\circ$, так как $AD$ — высота). В нем нам известен катет $DC = 4\sqrt{3}$ см и прилежащий к нему угол $\angle C = 60^\circ$. Мы ищем длину второго катета $AD$. Для этого используем тангенс угла $C$:
$\tan(\angle C) = \frac{AD}{DC}$
Отсюда:
$AD = DC \cdot \tan(\angle C) = 4\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Ответ: 12 см.