Страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

279 Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Обозначим длину перпендикуляра как $h$, а длину наклонной как $l$.

Из геометрии известно, что перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, всегда короче любой наклонной, проведенной из той же точки к той же прямой. Следовательно, $l > h$.

Согласно условию задачи, у нас есть два соотношения:

1. Сумма длин перпендикуляра и наклонной равна 17 см: $l + h = 17$.

2. Разность длин наклонной и перпендикуляра равна 1 см: $l - h = 1$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} l + h = 17 \\ l - h = 1 \end{cases} $

Для решения системы можно сложить два уравнения. Это позволит исключить переменную $h$:

$(l + h) + (l - h) = 17 + 1$

$2l = 18$

$l = \frac{18}{2} = 9$

Таким образом, длина наклонной равна 9 см. Теперь, зная $l$, мы можем найти $h$, подставив значение $l$ в любое из уравнений. Воспользуемся вторым уравнением:

$9 - h = 1$

$h = 9 - 1$

$h = 8$

Длина перпендикуляра равна 8 см. Так как расстояние от точки до прямой — это и есть длина перпендикуляра, то искомое расстояние равно 8 см.

Ответ: 8 см.

280 В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найдите расстояние от вершины А до прямой ВС.

Решение:

1. По условию, треугольник $ABC$ — равносторонний. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$, то есть $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

2. В треугольнике проведена биссектриса $AD$. Она делит угол $A$ пополам: $\angle CAD = \angle BAD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная из вершины, является также медианой и высотой.

3. Так как $AD$ — высота, то она перпендикулярна стороне $BC$ ($AD \perp BC$). Расстояние от вершины $A$ до прямой $BC$ по определению равно длине этого перпендикуляра, то есть длине отрезка $AD$. Таким образом, задача сводится к нахождению длины $AD$.

4. По условию, расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ равно 6 см. Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим из точки $D$ перпендикуляр $DH$ на прямую $AC$. Тогда $DH = 6$ см, и треугольник $DHC$ является прямоугольным ($\angle DHC = 90^\circ$).

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DHC$. В нем известен катет $DH=6$ см и противолежащий ему угол $\angle C=60^\circ$. Мы можем найти гипотенузу $DC$, используя синус угла $C$:
$\sin(\angle C) = \frac{DH}{DC}$
Отсюда:
$DC = \frac{DH}{\sin(\angle C)} = \frac{6}{\sin(60^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ ($\angle ADC = 90^\circ$, так как $AD$ — высота). В нем нам известен катет $DC = 4\sqrt{3}$ см и прилежащий к нему угол $\angle C = 60^\circ$. Мы ищем длину второго катета $AD$. Для этого используем тангенс угла $C$:
$\tan(\angle C) = \frac{AD}{DC}$
Отсюда:
$AD = DC \cdot \tan(\angle C) = 4\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

281 Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.

По условию задачи, нам дан прямоугольный треугольник $CDE$, где $CE$ – гипотенуза, а $CD$ и $DE$ – катеты. Это означает, что угол при вершине $D$ прямой ($\angle D = 90^\circ$).

Из условия мы знаем, что сумма гипотенузы $CE$ и катета $CD$ равна 31 см, а их разность равна 3 см. Запишем это в виде системы уравнений: $$ \begin{cases} CE + CD = 31 \\ CE - CD = 3 \end{cases} $$

Для решения этой системы сложим оба уравнения. Это позволит нам исключить переменную $CD$: $$(CE + CD) + (CE - CD) = 31 + 3$$ $$2 \cdot CE = 34$$ $$CE = \frac{34}{2} = 17 \text{ см}$$

Теперь, зная длину гипотенузы $CE$, мы можем найти длину катета $CD$, подставив значение $CE$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое: $$17 + CD = 31$$ $$CD = 31 - 17$$ $$CD = 14 \text{ см}$$

Нам нужно найти расстояние от вершины $C$ до прямой $DE$. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Поскольку треугольник $CDE$ прямоугольный с прямым углом $D$, катет $CD$ перпендикулярен катету $DE$. Следовательно, отрезок $CD$ является перпендикуляром от точки $C$ к прямой, содержащей отрезок $DE$.

Таким образом, искомое расстояние равно длине катета $CD$.

Ответ: 14 см.

282 Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.

Дано:

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB$ и $BC$.

По определению равнобедренного треугольника, $AB = BC$. Также, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Пусть точка $M$ — середина основания $AC$. Это означает, что $AM = MC$.

Доказать:

Необходимо доказать, что точка $M$ равноудалена от боковых сторон $AB$ и $BC$.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Проведем из точки $M$ перпендикуляры $MH$ к стороне $AB$ и $MK$ к стороне $BC$.

Таким образом, нам нужно доказать, что $MH = MK$.

Доказательство:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые у нас образовались: $\triangle AMH$ (где $\angle MHA = 90^\circ$) и $\triangle CMK$ (где $\angle MKC = 90^\circ$).

Сравним эти два треугольника:

1. Гипотенузы $AM$ и $MC$ равны, так как $M$ — середина отрезка $AC$ по условию ($AM = MC$).
2. Острые углы $\angle HAM$ и $\angle KCM$ равны, так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$ ($\angle HAM = \angle KCM$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AMH$ и $\triangle CMK$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В данном случае нас интересуют катеты $MH$ и $MK$.

Катет $MH$ в треугольнике $\triangle AMH$ лежит напротив угла $\angle HAM$.

Катет $MK$ в треугольнике $\triangle CMK$ лежит напротив угла $\angle KCM$.

Поскольку углы $\angle HAM$ и $\angle KCM$ равны, то и лежащие напротив них катеты $MH$ и $MK$ также равны.

Итак, $MH = MK$, что означает, что точка $M$ находится на одинаковом расстоянии от сторон $AB$ и $BC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

283 На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника ABC.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ и боковыми сторонами $AC$ и $BC$. На основании $AB$ взята точка $M$, которая равноудалена от боковых сторон. Требуется доказать, что $CM$ является высотой треугольника $ABC$.

Доказательство

1. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $M$ перпендикуляры к боковым сторонам $AC$ и $BC$. Обозначим основания этих перпендикуляров как точки $P$ и $Q$ соответственно. Таким образом, по построению, $MP \perp AC$ и $MQ \perp BC$.

2. По условию задачи, точка $M$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$. Это означает, что длины перпендикуляров $MP$ и $MQ$ равны:

$MP = MQ$.

3. Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые образовались в результате нашего построения: $\triangle CMP$ и $\triangle CMQ$. Углы $\angle MPC$ и $\angle MQC$ прямые, так как $MP$ и $MQ$ — перпендикуляры.

• Сторона $CM$ является общей для обоих треугольников и служит их гипотенузой.
• Катеты $MP$ и $MQ$ равны по условию ($MP = MQ$).

4. Согласно признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету, мы можем заключить, что $\triangle CMP \cong \triangle CMQ$.

5. Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, равны углы, лежащие напротив равных катетов $MP$ и $MQ$:

$\angle PCM = \angle QCM$, что можно также записать как $\angle ACM = \angle BCM$.

6. Это равенство углов означает, что отрезок $CM$ делит угол $\angle ACB$ пополам, то есть $CM$ является биссектрисой угла при вершине $C$ треугольника $ABC$.

7. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC=BC$) биссектриса, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является также медианой и высотой (по свойству равнобедренного треугольника).

8. Так как $CM$ — это биссектриса, проведенная к основанию $AB$, она также является и высотой треугольника $ABC$. А это значит, что $CM$ перпендикулярна основанию $AB$.

Таким образом, мы доказали, что $CM$ — высота треугольника $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок $CM$ является высотой треугольника $ABC$.

284 Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.

Пусть дан отрезок $AB$ и точка $M$ — его середина. По определению середины отрезка, $AM = MB$. Через точку $M$ проведена произвольная прямая $l$. Необходимо доказать, что концы отрезка, точки $A$ и $B$, равноудалены от прямой $l$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведём из точек $A$ и $B$ перпендикуляры к прямой $l$. Пусть $A_1$ и $B_1$ — основания этих перпендикуляров на прямой $l$. Тогда длина отрезка $AA_1$ — это расстояние от точки $A$ до прямой $l$, а длина $BB_1$ — расстояние от точки $B$ до прямой $l$. Требуется доказать, что $AA_1 = BB_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AA_1M$ и $\triangle BB_1M$. Так как $AA_1 \perp l$ и $BB_1 \perp l$ по построению, оба эти треугольника являются прямоугольными, с прямыми углами $\angle AA_1M = 90^\circ$ и $\angle BB_1M = 90^\circ$.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

1. Гипотенуза $AM$ треугольника $\triangle AA_1M$ равна гипотенузе $BM$ треугольника $\triangle BB_1M$, так как $M$ — середина отрезка $AB$ по условию ($AM = BM$).
2. Угол $\angle A_1MA$ равен углу $\angle B_1MB$, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямой $l$ и отрезка $AB$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AA_1M$ и $\triangle BB_1M$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон. Катет $AA_1$ треугольника $\triangle AA_1M$ соответствует катету $BB_1$ треугольника $\triangle BB_1M$. Следовательно, $AA_1 = BB_1$.

Это означает, что расстояния от концов отрезка $A$ и $B$ до прямой $l$ равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Расстояния от концов отрезка до прямой, проходящей через его середину, равны. Это следует из равенства двух прямоугольных треугольников, образованных перпендикулярами, опущенными из концов отрезка на прямую. Эти треугольники равны по гипотенузе (половина данного отрезка) и острому углу (вертикальные углы при середине отрезка).

285 Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 3 см, а между параллельными прямыми a и с равно 5 см. Найдите расстояние между прямыми b и с.

По условию задачи, прямая a параллельна прямой b ($a \parallel b$), и прямая a параллельна прямой c ($a \parallel c$). Согласно свойству транзитивности параллельности прямых, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Следовательно, прямая b параллельна прямой c ($b \parallel c$).

Расстояние между параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую. Обозначим расстояние между прямыми $x$ и $y$ как $d(x, y)$. Нам дано, что $d(a, b) = 3$ см и $d(a, c) = 5$ см. Задача допускает два возможных решения, так как расположение прямых b и c относительно прямой a не уточнено.

Случай 1: Прямые b и c расположены по одну сторону от прямой a.

В этом случае прямые b и c находятся в одной полуплоскости, определяемой прямой a. Расстояние между ними будет равно модулю разности их расстояний до прямой a. Так как $d(a, c) > d(a, b)$, то возможны два подварианта: либо прямая b находится между a и c, либо прямая a между b и c. В обоих подвариантах расстояние между b и c вычисляется как разность большего и меньшего расстояний от этих прямых до общей прямой a.

Расстояние $d(b, c)$ равно: $d(b, c) = |d(a, c) - d(a, b)| = |5 \text{ см} - 3 \text{ см}| = 2 \text{ см}$.

Ответ: 2 см.

Случай 2: Прямые b и c расположены по разные стороны от прямой a.

В этом случае прямая a проходит между прямыми b и c. Чтобы найти расстояние между b и c, необходимо сложить их расстояния до прямой a, так как перпендикуляр, соединяющий прямые b и c, будет состоять из двух отрезков, равных по длине расстояниям от b до a и от a до c.

Расстояние $d(b, c)$ в этом случае равно: $d(b, c) = d(a, b) + d(a, c) = 3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Ответ: 8 см.

Таким образом, задача имеет два возможных ответа в зависимости от взаимного расположения прямых.

286 Прямая AB параллельна прямой CD. Найдите расстояние между этими прямыми, если ∠ADC = 30°, АD = 6 см.

Расстоянием между параллельными прямыми называется длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую. Пусть нам даны параллельные прямые $AB$ и $CD$.

Чтобы найти расстояние между этими прямыми, опустим из точки $A$, принадлежащей прямой $AB$, перпендикуляр $AH$ на прямую $CD$. Длина этого перпендикуляра $AH$ и будет искомым расстоянием.

В результате этого построения образуется прямоугольный треугольник $\triangle AHD$, так как $AH$ является перпендикуляром к $CD$, и, следовательно, угол $\angle AHD = 90^\circ$.

Из условия задачи нам известны следующие данные для этого треугольника:

• Гипотенуза $AD = 6$ см.
• Острый угол $\angle ADH$ равен данному углу $\angle ADC$, то есть $\angle ADH = 30^\circ$.

Катет $AH$ лежит напротив угла в $30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Исходя из этого свойства, мы можем записать:
$AH = \frac{1}{2} \times AD$

Подставим в формулу известные нам значения:
$AH = \frac{1}{2} \times 6 \text{ см} = 3 \text{ см}$

Таким образом, расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $CD$ составляет 3 см.

Ответ: 3 см.

287* Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Пусть дана прямая $a$ и расстояние $d > 0$. Рассмотрим множество точек, которые расположены по одну сторону от прямой $a$ и находятся на расстоянии $d$ от нее.

Выберем две произвольные различные точки $A$ и $B$ из этого множества. По определению расстояния от точки до прямой, длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, равна этому расстоянию. Пусть $A_1$ и $B_1$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $A$ и $B$ на прямую $a$.

Таким образом, мы имеем отрезки $AA_1$ и $BB_1$, для которых выполняются следующие условия:
1. $AA_1 \perp a$ и $BB_1 \perp a$.
2. $AA_1 = d$ и $BB_1 = d$.

Поскольку две прямые ($AA_1$ и $BB_1$) перпендикулярны одной и той же третьей прямой ($a$), они параллельны между собой: $AA_1 \parallel BB_1$.

Рассмотрим четырехугольник $AA_1B_1B$. В этом четырехугольнике две противоположные стороны, $AA_1$ и $BB_1$, параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник $AA_1B_1B$ является параллелограммом.

Из свойства параллелограмма следует, что другая пара его противоположных сторон, $AB$ и $A_1B_1$, также параллельна. То есть, $AB \parallel A_1B_1$. Так как точки $A_1$ и $B_1$ лежат на прямой $a$, то прямая, содержащая отрезок $A_1B_1$, совпадает с прямой $a$. Следовательно, прямая, проходящая через точки $A$ и $B$ (назовем ее $b$), параллельна прямой $a$.

Мы доказали, что любые две точки из заданного множества лежат на прямой, параллельной прямой $a$. Теперь докажем, что все точки этого множества лежат на одной и той же прямой $b$.

Возьмем любую другую точку $C$ из нашего множества. Точка $C$ лежит с той же стороны от прямой $a$ и на расстоянии $d$ от нее. Проведя аналогичные рассуждения для точек $A$ и $C$, мы получим, что прямая $AC$ также параллельна прямой $a$.

Итак, мы имеем две прямые (прямая $b$, проходящая через $A$ и $B$, и прямая $AC$), которые проходят через одну и ту же точку $A$ и обе параллельны прямой $a$. Согласно аксиоме параллельных прямых (V постулат Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Так как все наши точки $A$, $B$, $C$ находятся на расстоянии $d>0$ от прямой $a$, они не лежат на ней. Следовательно, прямая $b$ и прямая $AC$ должны совпадать.

Это означает, что точка $C$ лежит на прямой $b$. Поскольку точка $C$ была выбрана произвольно, все точки, удовлетворяющие заданному условию, лежат на одной прямой $b$, которая параллельна данной прямой $a$.

Ответ: Утверждение доказано. Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на одной прямой, параллельной данной.

288 Даны неразвёрнутый угол ABC и отрезок PQ. Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла и удалённых от прямой ВС на расстояние PQ?

Пусть искомое множество точек — это $M$. По определению, любая точка $X$, принадлежащая множеству $M$, должна одновременно удовлетворять двум условиям: она должна лежать внутри неразвёрнутого угла $ABC$, и её расстояние до прямой $BC$ должно быть равно длине отрезка $PQ$.

Сначала рассмотрим второе условие. Геометрическое место точек, равноудалённых от некоторой прямой, — это пара прямых, параллельных данной. Таким образом, множество всех точек, удалённых от прямой $BC$ на расстояние, равное длине отрезка $PQ$ (обозначим эту длину как $h = |PQ|$), состоит из двух прямых, $l_1$ и $l_2$, параллельных $BC$ и расположенных на расстоянии $h$ от неё по разные стороны.

Теперь учтём первое условие: точки должны лежать внутри угла $ABC$. Внутренняя область угла $ABC$ — это пересечение двух полуплоскостей, одна из которых задается прямой $BC$ и содержит точку $A$, а другая — прямой $BA$ и содержит точку $C$.

Из двух параллельных прямых $l_1$ и $l_2$ только одна может находиться в той же полуплоскости относительно прямой $BC$, что и точка $A$. Пусть это прямая $l_1$. Прямая $l_2$ полностью находится вне внутренней области угла, поэтому мы её не рассматриваем. Следовательно, искомое множество точек является подмножеством прямой $l_1$.

Поскольку угол $ABC$ неразвёрнутый, его стороны, лучи $BA$ и $BC$, не лежат на одной прямой и не параллельны. Прямая $l_1$ параллельна прямой $BC$, значит, она не параллельна прямой $BA$ и пересекает её в некоторой точке. Назовём эту точку пересечения $K$. Точка $K$ лежит на луче $BA$.

Искомые точки должны лежать на прямой $l_1$ и одновременно внутри угла $ABC$. Это означает, что они должны находиться в полуплоскости, ограниченной прямой $BA$ и содержащей точку $C$. Эта часть прямой $l_1$ представляет собой луч с началом в точке $K$.

Наконец, определим, входит ли точка $K$ в искомое множество. Условие "лежать внутри угла" обычно подразумевает, что точки не принадлежат его сторонам. Точка $K$ лежит на луче $BA$, то есть на одной из сторон угла. Следовательно, точка $K$ не принадлежит искомому множеству.

Таким образом, искомое множество точек — это луч, параллельный стороне $BC$, с началом на стороне $BA$, причём само начало луча в множество не входит. Такой объект называется открытым лучом.

Ответ: Искомое множество точек представляет собой открытый луч (луч без своего начала). Этот луч параллелен стороне угла $BC$, а его начало лежит на стороне $BA$.

289 Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых?

Пусть даны две параллельные прямые, назовем их $a$ и $b$. Расстояние между параллельными прямыми — это постоянная величина, равная длине их общего перпендикуляра. Обозначим это расстояние как $h$.

Мы ищем геометрическое место точек $M$ на плоскости, для которых расстояние до прямой $a$ равно расстоянию до прямой $b$. Если обозначить расстояние от точки $M$ до прямой $a$ как $\rho(M, a)$, а до прямой $b$ как $\rho(M, b)$, то условие задачи можно записать в виде равенства:

$$ \rho(M, a) = \rho(M, b) $$

Рассмотрим любую точку $M$, которая удовлетворяет этому условию. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $M$ перпендикуляр $MP$ к прямой $a$ (где $P$ лежит на $a$) и перпендикуляр $MQ$ к прямой $b$ (где $Q$ лежит на $b$).

По определению искомого множества, длины этих перпендикуляров равны: $|MP| = |MQ|$.

Так как прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), а отрезки $MP$ и $MQ$ перпендикулярны им ($MP \perp a$ и $MQ \perp b$), то эти перпендикуляры лежат на одной прямой. То есть точки $P$, $M$ и $Q$ лежат на одной прямой, которая перпендикулярна обеим данным прямым.

Отрезок $PQ$ является общим перпендикуляром к прямым $a$ и $b$, и его длина равна расстоянию между этими прямыми, то есть $|PQ| = h$. Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $PQ$ и делит его на два равных отрезка $MP$ и $MQ$, точка $M$ является серединой отрезка $PQ$.

Это означает, что любая точка $M$ из искомого множества удалена от каждой из прямых на одно и то же расстояние, равное половине расстояния между ними:

$$ \rho(M, a) = \rho(M, b) = \frac{|PQ|}{2} = \frac{h}{2} $$

Таким образом, все точки, равноудаленные от двух параллельных прямых, образуют прямую. Эта прямая параллельна данным прямым и проходит ровно посередине между ними.

Ответ: Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых, есть прямая, которая параллельна этим прямым и расположена на равном расстоянии от каждой из них (проходит посередине между ними).

290 Прямые a и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков XY, где Х ∈ а, Y ∈ b, лежат на прямой, параллельной прямым a и b и равноудалённой от этих прямых.

Дано:

Прямые $a$ и $b$ параллельны, то есть $a \parallel b$.

$X$ — произвольная точка, принадлежащая прямой $a$ ($X \in a$).

$Y$ — произвольная точка, принадлежащая прямой $b$ ($Y \in b$).

$M$ — середина отрезка $XY$.

Доказать:

Геометрическое место точек $M$ (совокупность всех таких середин) есть прямая $c$, которая параллельна прямым $a$ и $b$ ($c \parallel a$ и $c \parallel b$) и равноудалена от них.

Доказательство:

1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $P$ и опустим из нее перпендикуляр $PQ$ на прямую $b$ (точка $Q$ принадлежит прямой $b$). Длина отрезка $PQ$ является расстоянием между параллельными прямыми $a$ и $b$. Обозначим это расстояние как $h$, то есть $|PQ| = h$.

2. Пусть $K$ — середина отрезка $PQ$. Точка $K$ по определению является одной из искомых середин, так как отрезок $PQ$ соединяет точки на прямых $a$ и $b$.

3. Теперь возьмем произвольный отрезок $XY$, где $X \in a$ и $Y \in b$, и пусть $M$ — его середина.

4. Рассмотрим четырехугольник $XPYQ$. Так как точки $X$ и $P$ лежат на прямой $a$, а точки $Y$ и $Q$ — на прямой $b$, и по условию $a \parallel b$, то отрезок $XP$ параллелен отрезку $YQ$. Следовательно, четырехугольник $XPYQ$ является трапецией, основаниями которой служат отрезки $XP$ и $YQ$. Отрезки $XY$ и $PQ$ являются ее боковыми сторонами. (В частном случае, если $XY \parallel PQ$, фигура будет параллелограммом, а если $X=P$ или $Y=Q$ — вырожденной трапецией, что не меняет хода доказательства).

5. В трапеции $XPYQ$ точка $M$ является серединой боковой стороны $XY$, а точка $K$ — серединой боковой стороны $PQ$. Отрезок $MK$, соединяющий середины боковых сторон трапеции, по определению является ее средней линией.

6. Согласно свойству средней линии трапеции, она параллельна ее основаниям. Значит, $MK \parallel XP$. Поскольку отрезок $XP$ лежит на прямой $a$, то и вся прямая, содержащая отрезок $MK$, параллельна прямой $a$.

7. Это означает, что любая середина $M$ произвольного отрезка $XY$ лежит на прямой, проходящей через фиксированную точку $K$ и параллельной прямой $a$. Обозначим эту прямую $c$. Таким образом, все искомые точки лежат на этой прямой $c$.

8. Так как $c \parallel a$ и по условию $a \parallel b$, то по свойству транзитивности параллельных прямых следует, что $c \parallel b$.

9. Теперь докажем, что прямая $c$ равноудалена от прямых $a$ и $b$. Расстояние между параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Отрезок $PQ$ перпендикулярен прямой $a$. Так как $c \parallel a$, то $PQ$ перпендикулярен и прямой $c$.

10. Расстояние от прямой $c$ до прямой $a$ равно длине отрезка $PK$. Так как $K$ — середина $PQ$, то $PK = \frac{1}{2} PQ = \frac{h}{2}$.

11. Аналогично, расстояние от прямой $c$ до прямой $b$ равно длине отрезка $QK$. Так как $K$ — середина $PQ$, то $QK = \frac{1}{2} PQ = \frac{h}{2}$.

12. Поскольку расстояние от прямой $c$ до прямой $a$ равно расстоянию от прямой $c$ до прямой $b$ ($d(c, a) = d(c, b) = \frac{h}{2}$), прямая $c$ равноудалена от прямых $a$ и $b$.

Таким образом, все утверждения доказаны.

Ответ: Множество середин всех отрезков, концы которых лежат на двух параллельных прямых, есть прямая, параллельная этим прямым и равноудалённая от них.

291 Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?

Искомое множество точек — это геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от данной прямой на заданное расстояние. Пусть дана прямая a и расстояние d (при условии, что $d > 0$).

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Рассмотрим любую точку M, которая находится на расстоянии d от прямой a. Это означает, что если мы опустим перпендикуляр MH из точки M на прямую a (где H — основание перпендикуляра, лежащее на прямой a), то длина этого перпендикуляра будет равна d ($|MH| = d$).

Точки, удовлетворяющие этому условию, могут находиться по обе стороны от прямой a.

1. Если мы рассмотрим все точки, лежащие с одной стороны от прямой a, то их совокупность образует прямую, параллельную прямой a. Представим, что мы "двигаем" точку H вдоль всей прямой a. В каждом положении точки H точка M будет находиться на перпендикуляре к a, восстановленном в точке H, и на расстоянии d от H. Множество всех таких точек M образует прямую b, параллельную a.

2. Аналогично, существует множество точек с другой стороны от прямой a, которые также находятся на расстоянии d от нее. Это множество также образует прямую c, параллельную a.

Таким образом, искомое множество состоит из двух параллельных прямых.

Доказательство с использованием метода координат:

Введем декартову систему координат так, чтобы данная прямая a совпадала с осью абсцисс (Ox). В этом случае уравнение прямой a будет $y = 0$.

Пусть M(x, y) — произвольная точка плоскости. Расстояние от точки M до прямой a (оси Ox) вычисляется как модуль ее ординаты, то есть $|y|$.

Согласно условию задачи, это расстояние должно быть равно d: $|y| = d$

Это уравнение распадается на два: $y = d$ и $y = -d$.

Каждое из этих уравнений задает прямую, параллельную оси Ox (т.е. исходной прямой a).

• $y = d$ — это прямая, все точки которой находятся на расстоянии d от прямой a в верхней полуплоскости.
• $y = -d$ — это прямая, все точки которой находятся на расстоянии d от прямой a в нижней полуплоскости.

Следовательно, множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии d от данной прямой a, — это две прямые, параллельные прямой a и расположенные на расстоянии d от нее по разные стороны.

Ответ: Две прямые, параллельные данной прямой и отстоящие от нее на данное расстояние.