Страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

315 Докажите что, каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Это утверждение является следствием неравенства треугольника. Неравенство треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Доказательство:

Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$.
Согласно неравенству треугольника, справедливы следующие три соотношения:

1. $a + b > c$
2. $b + c > a$
3. $a + c > b$

Нам необходимо доказать, что любая сторона больше модуля разности двух других сторон. Докажем это для стороны $a$, то есть докажем, что $a > |b - c|$. Аналогично это будет доказываться и для других сторон.

Рассмотрим неравенство (3): $a + c > b$.
Вычтем из обеих частей неравенства $c$:
$a + c - c > b - c$
$a > b - c$

Теперь рассмотрим неравенство (1): $a + b > c$.
Вычтем из обеих частей неравенства $b$:
$a + b - b > c - b$
$a > c - b$

Таким образом, мы получили два неравенства:
$a > b - c$
$a > c - b$

Если $b \ge c$, то разность $b - c$ неотрицательна, и $|b - c| = b - c$. Из доказанного неравенства $a > b - c$ следует, что $a > |b - c|$.

Если $b < c$, то разность $b - c$ отрицательна, и $|b - c| = -(b - c) = c - b$. Из доказанного неравенства $a > c - b$ следует, что $a > |b - c|$.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что $a > |b - c|$.

Аналогично, исходя из тех же трех основных неравенств, можно доказать, что $b > |a - c|$ и $c > |a - b|$.

Таким образом, каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для произвольного треугольника со сторонами $a, b, c$ из неравенства треугольника ($a+b>c$, $b+c>a$, $a+c>b$) путем алгебраических преобразований выводится, что $a > b-c$ и $a > c-b$, что в совокупности означает $a > |b-c|$. Аналогично доказывается для сторон $b$ и $c$.

316 В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Проведем из вершины прямого угла $C$ высоту $CD$ на гипотенузу $AB$. По определению высоты, $CD \perp AB$, следовательно, углы $\angle CDA$ и $\angle CDB$ являются прямыми, то есть $\angle CDA = 90^\circ$ и $\angle CDB = 90^\circ$. Высота $CD$ делит исходный треугольник на два новых прямоугольных треугольника: $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$.

Обозначим один из острых углов исходного треугольника $\triangle ABC$, например $\angle A$, как $\alpha$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, второй острый угол, $\angle B$, будет равен $180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha$. Таким образом, углы треугольника $\triangle ABC$ равны $\alpha$, $90^\circ - \alpha$ и $90^\circ$.

Теперь рассмотрим первый образовавшийся треугольник, $\triangle ACD$. Он прямоугольный ($\angle CDA = 90^\circ$). Один из его углов, $\angle CAD$, является общим с треугольником $\triangle ABC$, поэтому $\angle CAD = \angle A = \alpha$. Третий угол, $\angle ACD$, находим из суммы углов треугольника: $\angle ACD = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha$. Следовательно, углы треугольника $\triangle ACD$ также равны $\alpha$, $90^\circ - \alpha$ и $90^\circ$.

Далее рассмотрим второй образовавшийся треугольник, $\triangle CBD$. Он также прямоугольный ($\angle CDB = 90^\circ$). Один из его углов, $\angle CBD$, является общим с треугольником $\triangle ABC$, поэтому $\angle CBD = \angle B = 90^\circ - \alpha$. Третий угол, $\angle BCD$, находим из суммы углов треугольника: $\angle BCD = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. Следовательно, углы треугольника $\triangle CBD$ тоже равны $\alpha$, $90^\circ - \alpha$ и $90^\circ$.

Таким образом, мы установили, что все три треугольника — исходный $\triangle ABC$ и образовавшиеся $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$ — имеют одинаковый набор углов. Это доказывает, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Углы исходного прямоугольного треугольника и двух треугольников, на которые его делит высота из прямого угла, соответственно равны. Каждый из этих трех треугольников имеет одинаковый набор углов.

317 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС, равным 37 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найдите расстояние от вершины С до прямой AB.

По условию задачи, дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = BC$. Длина боковой стороны составляет 37 см, то есть $BC = 37$ см.

Внешний угол при вершине $B$ и внутренний угол треугольника $\angle ABC$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle ABC$:
$\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Расстояние от вершины $C$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$. Обозначим этот перпендикуляр $CH$, где $H$ — точка на прямой $AB$. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка $CH$.

Так как угол $\angle ABC = 120^\circ$ является тупым, то основание перпендикуляра $H$ будет лежать на продолжении стороны $AB$ за вершину $B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CBH$. Он является прямоугольным, так как $CH \perp AB$ по построению, следовательно, $\angle CHB = 90^\circ$. Угол $\angle CBH$ смежен с углом $\angle ABC$, поэтому он равен данному в условии внешнему углу при вершине $B$, то есть $\angle CBH = 60^\circ$. Гипотенуза в этом треугольнике — это сторона $BC = 37$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle CBH$ катет $CH$ лежит напротив угла $\angle CBH$. Мы можем найти его длину, используя определение синуса:
$\sin(\angle CBH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{BC}$

Выразим из этой формулы искомую длину $CH$:
$CH = BC \cdot \sin(\angle CBH)$

Подставим известные значения:
$CH = 37 \cdot \sin(60^\circ)$

Зная, что значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$CH = 37 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{37\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{37\sqrt{3}}{2}$ см.

318 В треугольнике с неравными сторонами AB и АС (AB > АС) проведены высота AH и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов В и С.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $AB > AC$. Из вершины $A$ проведены высота $AH$ (где $H$ лежит на прямой $BC$) и биссектриса $AD$ (где $D$ лежит на отрезке $BC$). Необходимо доказать, что $\angle HAD$ равен полуразности углов $B$ и $C$.

Так как в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, из условия $AB > AC$ следует, что $\angle C > \angle B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$, в котором $\angle AHB = 90^\circ$ (поскольку $AH$ — высота). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, следовательно:$\angle BAH = 90^\circ - \angle B$.

Поскольку $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, она делит его пополам:$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ составляет $180^\circ$, то есть $\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Выразим отсюда угол $\angle BAC$:$\angle BAC = 180^\circ - \angle B - \angle C$.

Теперь подставим это выражение в формулу для $\angle BAD$:$\angle BAD = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle B - \angle C) = 90^\circ - \frac{\angle B + \angle C}{2}$.

Так как мы доказали, что $\angle C > \angle B$, отсюда следует, что $90^\circ - \angle B > 90^\circ - \angle C$. Учитывая, что $\angle BAH = 90^\circ - \angle B$ и $\angle CAH = 90^\circ - \angle C$, получаем $\angle BAH > \angle CAH$. Это означает, что высота $AH$ расположена ближе к стороне $AC$. Биссектриса $AD$ делит угол $\angle BAC$ пополам, поэтому она будет расположена между лучами $AH$ и $AC$. Следовательно, искомый угол $\angle HAD$ можно найти как разность $\angle BAH$ и $\angle BAD$.

$\angle HAD = \angle BAH - \angle BAD$

Подставим найденные ранее выражения для этих углов:$\angle HAD = (90^\circ - \angle B) - (90^\circ - \frac{\angle B + \angle C}{2})$
$\angle HAD = 90^\circ - \angle B - 90^\circ + \frac{\angle B + \angle C}{2}$
$\angle HAD = \frac{\angle B + \angle C}{2} - \angle B$
$\angle HAD = \frac{\angle B + \angle C - 2\angle B}{2}$
$\angle HAD = \frac{\angle C - \angle B}{2}$

Таким образом, мы доказали, что угол $HAD$ равен полуразности углов $C$ и $B$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Угол между высотой $AH$ и биссектрисой $AD$ равен $\frac{\angle C - \angle B}{2}$, то есть полуразности углов при основании $BC$.

319 Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.

Дано:

Пусть даны два равных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, то есть $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон и углов:
$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$;
$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.
Проведём высоту $BH$ к стороне $AC$ в треугольнике $\triangle ABC$ и высоту $B_1H_1$ к соответственной ей равной стороне $A_1C_1$ в треугольнике $\triangle A_1B_1C_1$.
По определению высоты, $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$.

Доказать:

$BH = B_1H_1$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$.

Так как $BH$ и $B_1H_1$ — высоты, то они перпендикулярны сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. Следовательно, углы $\angle BHA$ и $\angle B_1H_1A_1$ являются прямыми, $\angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$. Это означает, что треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ — прямоугольные.

Сравним эти прямоугольные треугольники:

1. Гипотенуза $AB$ треугольника $\triangle ABH$ равна гипотенузе $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1H_1$ ($AB = A_1B_1$), так как это соответственные стороны в равных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

2. Острый угол $\angle A$ треугольника $\triangle ABH$ равен острому углу $\angle A_1$ треугольника $\triangle A_1B_1H_1$ ($\angle A = \angle A_1$), так как это соответственные углы в тех же равных треугольниках.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников $\triangle ABH = \triangle A_1B_1H_1$ следует равенство их соответственных сторон. В частности, катет $BH$ треугольника $\triangle ABH$ равен соответственному катету $B_1H_1$ треугольника $\triangle A_1B_1H_1$.

Значит, $BH = B_1H_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Высоты, проведённые к равным сторонам в равных треугольниках, равны.

320 В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AR. Докажите, что периметр треугольника ARC меньше периметра треугольника ABC.

Дано:

$\triangle ABC$ — остроугольный треугольник.

$AR$ — высота, проведенная к стороне $BC$, то есть $AR \perp BC$.

Доказать:

Периметр $\triangle ARC$ меньше периметра $\triangle ABC$.

Доказательство:

1. Запишем формулы для периметров обоих треугольников:

Периметр треугольника $ABC$: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Периметр треугольника $ARC$: $P_{ARC} = AR + RC + AC$.

2. Нам необходимо доказать неравенство $P_{ARC} < P_{ABC}$, что эквивалентно:

$AR + RC + AC < AB + BC + AC$

Вычтем из обеих частей неравенства общую сторону $AC$. Получим неравенство, которое нам предстоит доказать:

$AR + RC < AB + BC$

3. Рассмотрим треугольник $ABR$. Так как $AR$ — высота, то $\angle ARB = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABR$ является прямоугольным треугольником.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. В $\triangle ABR$ сторона $AB$ является гипотенузой (так как лежит напротив прямого угла), а $AR$ — катетом. Таким образом, справедливо неравенство:

$AR < AB$

4. Поскольку $\triangle ABC$ — остроугольный, основание высоты $R$ лежит на отрезке $BC$. Это означает, что точка $R$ находится между точками $B$ и $C$. Тогда длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BR$ и $RC$:

$BC = BR + RC$

Так как $BR$ — это длина стороны треугольника $ABR$, то $BR > 0$. Следовательно:

$RC < BR + RC$, что означает $RC < BC$.

5. Теперь у нас есть два верных неравенства:

1) $AR < AB$

2) $RC < BC$

Сложим эти два неравенства почленно. Если мы складываем меньшие части и большие части двух верных неравенств одного знака, то получаем верное неравенство того же знака:

$AR + RC < AB + BC$

Это и есть то неравенство, которое мы хотели доказать в шаге 2.

Таким образом, мы доказали, что сумма сторон $AR$ и $RC$ меньше суммы сторон $AB$ и $BC$. Если мы добавим к обеим частям этого неравенства длину общей стороны $AC$, то получим:

$AR + RC + AC < AB + BC + AC$

то есть $P_{ARC} < P_{ABC}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Периметр треугольника $ARC$ действительно меньше периметра треугольника $ABC$, так как катет $AR$ меньше гипотенузы $AB$ в прямоугольном треугольнике $ABR$, а отрезок $RC$ является лишь частью стороны $BC$.

321 Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведен отрезок $BD$, где $D$ — это точка на стороне $AC$. Требуется доказать, что отрезок $BD$ меньше большей из двух других сторон, то есть $BD < \max(AB, BC)$.

Рассмотрим углы, которые отрезок $BD$ образует со стороной $AC$. Это смежные углы $\angle BDA$ и $\angle BDC$. По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$: $$ \angle BDA + \angle BDC = 180^\circ $$

Так как сумма двух этих углов равна $180^\circ$, по крайней мере один из них должен быть не острым, то есть его градусная мера должна быть больше или равна $90^\circ$. Если бы оба угла были острыми (с мерой меньше $90^\circ$), их сумма была бы меньше $180^\circ$, что противоречило бы их свойству смежных углов.

Рассмотрим два возможных случая, которые охватывают все возможные положения точки $D$:

1. Угол $\angle BDA \ge 90^\circ$.
В этом случае в треугольнике $ABD$ угол $\angle BDA$ является наибольшим (так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, два других угла, $\angle A$ и $\angle ABD$, должны быть острыми). В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Следовательно, сторона $AB$, лежащая напротив угла $\angle BDA$, будет больше стороны $BD$. Таким образом, мы имеем неравенство $AB > BD$.

2. Угол $\angle BDC \ge 90^\circ$.
Аналогично, в треугольнике $CBD$ угол $\angle BDC$ будет наибольшим. Следовательно, сторона $BC$, лежащая напротив этого угла, будет больше стороны $BD$. Таким образом, мы имеем неравенство $BC > BD$.

Поскольку один из этих двух случаев ($\angle BDA \ge 90^\circ$ или $\angle BDC \ge 90^\circ$) обязательно имеет место, мы можем утверждать, что отрезок $BD$ всегда меньше хотя бы одной из сторон $AB$ или $BC$.

Если отрезок $BD$ меньше хотя бы одной из сторон $AB$ или $BC$, то он тем более будет меньше большей из этих двух сторон. То есть, $BD < \max(AB, BC)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение задачи доказано.

322* Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Задача состоит в том, чтобы построить треугольник, зная длины двух его сторон и медианы, проведенной к третьей стороне. Обозначим данные длины сторон как $a$ и $b$, а длину медианы как $m_c$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $AC = b$, $BC = a$, и $CM = m_c$ — медиана, проведенная к стороне $AB$. Это значит, что точка $M$ является серединой стороны $AB$.

Применим метод достроения. Продлим медиану $CM$ за точку $M$ на ее собственную длину до точки $D$, так что $CM = MD$. Таким образом, $CD = 2m_c$.

Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $AM = MB$. По нашему построению, $CM = MD$. Поскольку диагонали четырехугольника $ADBC$ в точке пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, $AD = BC = a$ и $BD = AC = b$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Его стороны нам известны:

• $AC = b$ (дано)
• $AD = a$ (как противоположная сторона $BC$ в параллелограмме)
• $CD = 2m_c$ (по построению)

Таким образом, мы можем построить треугольник $ACD$ по трем сторонам. Построив его, мы легко найдем и вершину $B$ исходного треугольника.

Построение

1. Строим отрезок $CD$ длиной, равной удвоенной длине медианы, то есть $CD = 2m_c$.
2. Из точки $C$ как из центра проводим окружность радиусом $b$ (длина одной из данных сторон).
3. Из точки $D$ как из центра проводим окружность радиусом $a$ (длина другой данной стороны).
4. Точку пересечения этих двух окружностей обозначаем как $A$. Треугольник $ACD$ построен. (Если окружности не пересекаются, решения нет. Если касаются, решение одно, вырожденное).
5. Находим середину отрезка $CD$. Это будет точка $M$. Для этого можно построить серединный перпендикуляр к $CD$.
6. Проводим луч $AM$.
7. На луче $AM$ за точкой $M$ откладываем отрезок $MB$, равный отрезку $AM$.
8. Соединяем точки $B$ и $C$.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном нами треугольнике $ABC$:

1. Сторона $AC$ по построению равна $b$, так как точка $A$ лежит на окружности с центром $C$ и радиусом $b$.
2. Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. По построению $CM=MD = m_c$ (так как $M$ - середина $CD$) и $AM=MB$ (так как мы отложили $MB=AM$). Следовательно, $ADBC$ — параллелограмм.
3. В параллелограмме $ADBC$ противоположные стороны равны, значит $BC = AD$. Длина $AD$ по построению равна $a$, так как точка $A$ лежит на окружности с центром $D$ и радиусом $a$. Таким образом, $BC = a$.
4. Так как $M$ — середина отрезка $AB$, то отрезок $CM$ является медианой треугольника $ABC$. Его длина $CM = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}(2m_c) = m_c$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет две стороны, равные $a$ и $b$, и медиану к третьей стороне, равную $m_c$. Что и требовалось доказать.

Исследование

Задача имеет решение в том и только в том случае, если возможно построить вспомогательный треугольник $ACD$ со сторонами $a$, $b$ и $2m_c$. Для этого необходимо, чтобы для этих трех длин выполнялось неравенство треугольника:

• $a + b > 2m_c$
• $a + 2m_c > b$
• $b + 2m_c > a$

Если эти условия выполняются, то окружности в пункте 4 построения пересекутся в двух точках (симметричных относительно прямой $CD$), что приведет к двум конгруэнтным треугольникам. Следовательно, задача будет иметь единственное решение (с точностью до конгруэнтности). Если одна из сумм равна третьей стороне (например, $a+b = 2m_c$), треугольник $ACD$ будет вырожденным (все три вершины лежат на одной прямой), и решение будет также вырожденным. Если неравенство треугольника не выполняется, окружности не пересекутся, и задача не будет иметь решений.

Ответ: Построение треугольника основано на достроении его до параллелограмма. Вспомогательный треугольник строится по трем сторонам: $a$, $b$ и $2m_c$. Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если для длин $a$, $b$ и $2m_c$ выполняется неравенство треугольника.

323 Постройте прямоугольный треугольник по:

а) гипотенузе и острому углу;

б) катету и противолежащему углу;

в) гипотенузе и катету.

а) гипотенузе и острому углу;

Пусть даны отрезок, равный по длине гипотенузе $c$, и угол, равный острому углу $\alpha$. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB=c$ и острым углом $\angle A = \alpha$.

Анализ: В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Если один острый угол равен $\alpha$, то второй острый угол равен $90^\circ - \alpha$. Таким образом, мы можем построить треугольник по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам ($\alpha$ и $90^\circ - \alpha$).

План построения:

1. Построим отрезок $AB$, равный данной гипотенузе $c$.

2. От луча $AB$ построим угол $\angle BAK$, равный данному острому углу $\alpha$.

3. Построим угол, равный $90^\circ - \alpha$. Для этого построим прямой угол, отложим от его вершины данный угол $\alpha$; оставшаяся часть прямого угла будет искомым углом.

4. От луча $BA$ построим угол $\angle ABD$, равный построенному углу $90^\circ - \alpha$.

5. Лучи $AK$ и $BD$ пересекутся в точке $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство: По построению сторона $AB=c$ и $\angle A = \alpha$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, следовательно $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\alpha + 90^\circ - \alpha) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным с заданными гипотенузой и острым углом.

Ответ: Построение основано на построении треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

б) катету и противолежащему углу;

Пусть даны отрезок, равный катету $a$, и угол, равный противолежащему ему острому углу $\alpha$. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, катетом $BC=a$ и углом $\angle A=\alpha$.

Анализ: Мы знаем катет $BC$, противолежащий ему угол $\angle A = \alpha$ и прямой угол $\angle C = 90^\circ$. Третий угол $\angle B$ можно найти: $\angle B = 90^\circ - \alpha$. Таким образом, мы можем построить треугольник по стороне (катету $BC$) и двум прилежащим к ней углам ($\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 90^\circ - \alpha$).

План построения:

1. Построим прямой угол и обозначим его вершину буквой $C$.

2. На одной из сторон прямого угла отложим от вершины отрезок $CB$, равный данному катету $a$.

3. Построим угол, равный $90^\circ - \alpha$.

4. От луча $CB$ построим угол $\angle CBA$, равный построенному углу $90^\circ - \alpha$, так, чтобы его вторая сторона пересекала другую сторону прямого угла $C$.

5. Точку пересечения обозначим буквой $A$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство: По построению $\angle C = 90^\circ$ и катет $BC = a$. Угол $\angle B$ построен равным $90^\circ - \alpha$. Так как сумма углов треугольника $180^\circ$, то $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. Угол $\angle A$ противолежит катету $BC$. Следовательно, треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Построение основано на построении треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

в) гипотенузе и катету.

Пусть даны два отрезка, равные гипотенузе $c$ и катету $a$ (причем $c > a$). Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, катетом $BC=a$ и гипотенузой $AB=c$.

Анализ: Мы можем построить прямой угол $\angle C$. На одной его стороне отложить катет $BC=a$. Вершина $A$ будет лежать на другой стороне прямого угла. Расстояние от вершины $B$ до вершины $A$ должно быть равно гипотенузе $c$. Точку $A$ можно найти как пересечение стороны угла и окружности с центром в точке $B$ и радиусом $c$.

План построения:

1. Построим прямую $l$ и выберем на ней точку $C$.

2. Построим прямую $m$, перпендикулярную прямой $l$ и проходящую через точку $C$.

3. На прямой $m$ отложим от точки $C$ отрезок $CB$, равный катету $a$.

4. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным гипотенузе $c$.

5. Эта окружность пересечет прямую $l$ в точке $A$. (Задача имеет решение, если $c > a$, что является необходимым условием для существования такого треугольника).

6. Соединим точки $A$ и $B$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство: В построенном треугольнике $\angle C = 90^\circ$. Катет $BC$ равен $a$ по построению. Сторона $AB$, лежащая напротив прямого угла, является гипотенузой, и ее длина равна $c$ по построению (как радиус окружности). Следовательно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: Построение основано на построении прямого угла и использовании окружности для нахождения третьей вершины.

324 С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 30°; б) 60°; в) 15°; г) 120°; д) 150°; е) 135°; ж) 165°; з) 75°; и) 105°.

Для решения всех пунктов задачи используются три базовых построения с помощью циркуля и линейки: построение равностороннего треугольника (даёт угол $60^\circ$), построение биссектрисы угла (делит угол пополам) и построение перпендикуляра к прямой (даёт угол $90^\circ$).

а) Угол $30^\circ$ получаем делением пополам угла в $60^\circ$, так как $30^\circ = \frac{60^\circ}{2}$. Сначала строим угол $\angle AOB = 60^\circ$. Затем строим его биссектрису. Для этого из вершины $O$ проводим дугу, пересекающую стороны угла в точках $M$ и $N$. Из точек $M$ и $N$ проводим две пересекающиеся дуги равного радиуса в точке $K$. Луч $OK$ является биссектрисой, и угол $\angle AOK$ равен $30^\circ$.
Ответ: Угол $30^\circ$ построен путем построения угла $60^\circ$ и его последующего деления пополам с помощью построения биссектрисы.

б) Построение угла в $60^\circ$ основано на построении равностороннего треугольника. Для этого начертим луч $OA$, затем с центром в точке $O$ проведём дугу произвольного радиуса $R$, пересекающую луч в точке $B$. С центром в точке $B$ и тем же радиусом $R$ проведём вторую дугу, пересекающую первую в точке $C$. Проведём луч $OC$. Угол $\angle COA$ равен $60^\circ$, так как треугольник $\triangle OBC$ является равносторонним.
Ответ: Угол $60^\circ$ построен с помощью построения равностороннего треугольника.

в) Угол $15^\circ$ получаем делением пополам угла в $30^\circ$, так как $15^\circ = \frac{30^\circ}{2}$. Сначала строим угол в $30^\circ$ (как в пункте а), а затем строим его биссектрису. Полученный угол будет равен $15^\circ$.
Ответ: Угол $15^\circ$ построен путем последовательного деления угла $60^\circ$ пополам дважды.

г) Угол $120^\circ$ является смежным с углом $60^\circ$, так как $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$. Проводим прямую и отмечаем на ней точку $O$. От одного из лучей с началом в точке $O$ откладываем угол $60^\circ$ (как в пункте б). Угол, смежный с построенным, будет искомым углом в $120^\circ$.
Ответ: Угол $120^\circ$ построен как угол, смежный с углом $60^\circ$.

д) Угол $150^\circ$ является смежным с углом $30^\circ$, так как $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$. Проводим прямую, на ней точку $O$. От одного из лучей с началом в $O$ откладываем угол $30^\circ$ (как в пункте а). Угол, смежный с построенным, будет равен $150^\circ$.
Ответ: Угол $150^\circ$ построен как угол, смежный с углом $30^\circ$.

е) Угол $135^\circ$ является смежным с углом $45^\circ$, так как $135^\circ = 180^\circ - 45^\circ$. Проводим прямую и на ней точку $O$. В точке $O$ строим перпендикуляр к прямой, получая угол $90^\circ$. Строим биссектрису этого прямого угла, получая угол $45^\circ$. Угол, смежный с полученным углом в $45^\circ$, и будет искомым углом в $135^\circ$.
Ответ: Угол $135^\circ$ построен как угол, смежный с углом $45^\circ$.

ж) Угол $165^\circ$ является смежным с углом $15^\circ$, так как $165^\circ = 180^\circ - 15^\circ$. Проводим прямую, на ней точку $O$. От одного из лучей с началом в $O$ откладываем угол $15^\circ$ (как в пункте в). Угол, смежный с построенным, будет равен $165^\circ$.
Ответ: Угол $165^\circ$ построен как угол, смежный с углом $15^\circ$.

з) Угол $75^\circ$ можно построить как сумму углов $60^\circ$ и $15^\circ$, то есть $75^\circ = 60^\circ + 15^\circ$. Сначала строим угол $\angle AOB = 60^\circ$. Затем строим угол $15^\circ$ так, чтобы одна из его сторон совпадала с лучом $OB$, а сам угол лежал вне угла $\angle AOB$. Для построения $15^\circ$ строим смежный с $\angle AOB$ угол $\angle BOC = 60^\circ$, делим его биссектрисой $OD$ пополам (получив $\angle BOD = 30^\circ$) и затем еще раз делим биссектрисой $OE$ угол $\angle BOD$ (получив $\angle BOE = 15^\circ$). Искомый угол $\angle AOE = \angle AOB + \angle BOE = 60^\circ + 15^\circ = 75^\circ$.
Ответ: Угол $75^\circ$ построен как сумма углов $60^\circ$ и $15^\circ$.

и) Угол $105^\circ$ можно построить как сумму углов $60^\circ$ и $45^\circ$, то есть $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$. Строим угол $\angle AOB = 60^\circ$. К стороне $OB$ пристраиваем прямой угол $\angle BOC = 90^\circ$. Затем строим биссектрису $OD$ угла $\angle BOC$, которая делит его на два угла по $45^\circ$. Искомый угол $\angle AOD = \angle AOB + \angle BOD = 60^\circ + 45^\circ = 105^\circ$.
Ответ: Угол $105^\circ$ построен как сумма углов $60^\circ$ и $45^\circ$.

325* Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к ней, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.

Для построения треугольника по стороне $a$, высоте $h_a$, проведённой к этой стороне, и медиане $m_b$, проведённой к одной из двух других сторон, выполним следующие шаги: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Даны сторона $BC$ (длиной $a$), высота $AH_a$ (длиной $h_a$), проведенная из вершины $A$ к прямой $BC$, и медиана $BM_b$ (длиной $m_b$), где $M_b$ — середина стороны $AC$.

Вершина $A$ должна находиться на расстоянии $h_a$ от прямой, содержащей сторону $BC$. Геометрическим местом точек для вершины $A$ является прямая $p$, параллельная прямой $BC$ и удаленная от нее на расстояние $h_a$.

Рассмотрим положение точки $M_b$. Так как $M_b$ является серединой стороны $AC$, то её расстояние до прямой $BC$ равно половине расстояния от точки $A$ до прямой $BC$. Если опустить перпендикуляры $AH_a$ и $M_bK$ на прямую $BC$, то $M_bK$ будет средней линией в треугольнике $ACH_a$ (или в трапеции, если $C$ не лежит на отрезке $BH_a$). Следовательно, $M_bK = \frac{1}{2}AH_a = \frac{h_a}{2}$. Таким образом, точка $M_b$ лежит на прямой $q$, параллельной $BC$ и удаленной от нее на расстояние $\frac{h_a}{2}$.

Кроме того, точка $M_b$ по определению медианы удалена от вершины $B$ на расстояние $m_b$. Значит, $M_b$ также лежит на окружности с центром в точке $B$ и радиусом $m_b$.

Таким образом, точка $M_b$ может быть найдена как точка пересечения двух геометрических мест: прямой $q$ и окружности. После нахождения точки $M_b$, а также имея точки $B$ и $C$, можно однозначно определить положение вершины $A$. Так как $M_b$ — середина $AC$, точка $A$ симметрична точке $C$ относительно $M_b$.

Построение

1. Провести произвольную прямую $l$ и отметить на ней точку $B$.
2. С помощью циркуля отложить от точки $B$ на прямой $l$ отрезок $BC$ длиной $a$.
3. Построить прямую $p$, параллельную прямой $l$ на расстоянии $h_a$. Для этого можно восставить в точке $B$ перпендикуляр к $l$, отложить на нем отрезок длиной $h_a$ и через его конец провести прямую, параллельную $l$. На этой прямой будет лежать вершина $A$.
4. Разделить отрезок $h_a$ пополам, получив отрезок длиной $\frac{h_a}{2}$.
5. Построить прямую $q$, параллельную прямой $l$ на расстоянии $\frac{h_a}{2}$ (она будет расположена между прямыми $l$ и $p$). На этой прямой будет лежать точка $M_b$.
6. Построить окружность с центром в точке $B$ и радиусом $m_b$.
7. Найти точку (или точки) пересечения прямой $q$ и построенной окружности. Обозначим одну из этих точек как $M_b$.
8. Провести луч из точки $C$ через точку $M_b$.
9. На этом луче от точки $M_b$ отложить отрезок $M_bA$, равный отрезку $CM_b$. Точка $A$ будет третьей вершиной искомого треугольника.
10. Соединить точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ по построению равна $a$.

Точка $M_b$ по построению является серединой отрезка $AC$. Значит, отрезок $BM_b$ — медиана к стороне $AC$. Длина медианы $BM_b$ равна $m_b$, так как точка $M_b$ была построена на окружности с центром в $B$ и радиусом $m_b$.

Докажем, что высота, опущенная из вершины $A$ на прямую $BC$, равна $h_a$. По построению, точка $M_b$ лежит на прямой $q$, удаленной от прямой $BC$ на расстояние $\frac{h_a}{2}$. Пусть $AH_a$ и $M_bK$ — перпендикуляры, опущенные из точек $A$ и $M_b$ на прямую $BC$. Тогда $M_bK = \frac{h_a}{2}$. В треугольнике $ACH_a$ отрезок $M_bK$ параллелен $AH_a$ и соединяет середину стороны $AC$ (точку $M_b$) с точкой $K$ на стороне $CH_a$. По теореме о средней линии треугольника (или по теореме Фалеса), $M_bK = \frac{1}{2}AH_a$. Отсюда следует, что $AH_a = 2 \cdot M_bK = 2 \cdot \frac{h_a}{2} = h_a$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Возможность построения треугольника зависит от возможности нахождения точки $M_b$, то есть от наличия точек пересечения прямой $q$ и окружности с центром $B$ и радиусом $m_b$. Расстояние от центра окружности (точки $B$, лежащей на прямой $l$) до прямой $q$ равно $\frac{h_a}{2}$.

• Если $m_b < \frac{h_a}{2}$, то радиус окружности меньше расстояния от ее центра до прямой $q$. Окружность и прямая не пересекаются, и решений нет.
• Если $m_b = \frac{h_a}{2}$, окружность касается прямой $q$ в одной точке. Эта точка и будет точкой $M_b$. В этом случае задача имеет единственное решение (с точностью до выбора полуплоскости относительно прямой $BC$).
• Если $m_b > \frac{h_a}{2}$, окружность пересекает прямую $q$ в двух точках. Каждая из этих точек ($M_{b1}$ и $M_{b2}$) дает свое решение — треугольник $A_1BC$ и $A_2BC$. В общем случае эти два треугольника не конгруэнтны. Таким образом, задача имеет два различных решения.

Ответ: Задача имеет решение, если $m_b \ge \frac{h_a}{2}$. Если $m_b = \frac{h_a}{2}$, решение единственно. Если $m_b > \frac{h_a}{2}$, существует два различных решения (два неконгруэнтных треугольника).

326 Дан треугольник ABC. Постройте отрезок DE, параллельный прямой АС, так, чтобы точки D и Е лежали на сторонах AB и ВС и DE = AD + СЕ.

Анализ и план построения

По условию задачи, нам необходимо построить отрезок $DE$, который удовлетворяет трем условиям:

1. Точка $D$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ — на стороне $BC$.
2. Отрезок $DE$ параллелен стороне $AC$ ($DE \parallel AC$).
3. Длина отрезка $DE$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $CE$ ($DE = AD + CE$).

Ключевым является условие $DE = AD + CE$. Давайте проанализируем его с учетом того, что $DE \parallel AC$.

Предположим, искомый отрезок $DE$ построен. Разделим его на две части некоторой точкой $I$, так что $DE = DI + IE$. Если нам удастся показать, что можно построить отрезок так, чтобы $DI = AD$ и $IE = CE$, то условие задачи будет выполнено.

Рассмотрим треугольник $ADI$. Равенство $DI = AD$ возможно, если этот треугольник является равнобедренным, то есть если $\angle DAI = \angle DIA$.

Рассмотрим треугольник $CEI$. Аналогично, равенство $IE = CE$ будет верным, если $\angle ECI = \angle EIC$.

Условие $DE \parallel AC$ дает нам равенство накрест лежащих углов при секущих. Если мы проведем прямую $AI$, то $\angle DIA$ и $\angle IAC$ будут накрест лежащими углами при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $AI$. Следовательно, $\angle DIA = \angle IAC$.

Чтобы выполнялось равенство $\angle DAI = \angle DIA$, необходимо, чтобы $\angle DAI = \angle IAC$. Это означает, что прямая $AI$ должна быть биссектрисой угла $BAC$.

Аналогично, если мы проведем прямую $CI$, то $\angle EIC = \angle ICA$ (накрест лежащие углы при $DE \parallel AC$ и секущей $CI$). Для того чтобы треугольник $CEI$ был равнобедренным с основанием $CI$, нужно чтобы $\angle ECI = \angle EIC$, а значит, $\angle ECI = \angle ICA$. То есть прямая $CI$ должна быть биссектрисой угла $BCA$.

Таким образом, точка $I$, через которую проходит искомый отрезок $DE$, является точкой пересечения биссектрис углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ (эта точка является центром вписанной в треугольник окружности, или инцентром).

Отсюда вытекает следующий план построения:

1. Найти точку пересечения биссектрис углов $A$ и $C$.
2. Через эту точку провести прямую, параллельную стороне $AC$.
3. Точки пересечения этой прямой со сторонами $AB$ и $BC$ будут искомыми точками $D$ и $E$.

Построение и доказательство

Выполним построение с помощью циркуля и линейки:

1. Строим биссектрису угла $BAC$. Для этого из вершины $A$ проводим дугу окружности произвольного радиуса, пересекающую стороны $AB$ и $AC$. Из точек пересечения строим две дуги одинакового радиуса до их пересечения. Прямая, проходящая через вершину $A$ и точку пересечения дуг, является биссектрисой угла $A$.
2. Аналогично строим биссектрису угла $BCA$.
3. Находим точку $I$ — точку пересечения построенных биссектрис.
4. Строим прямую, проходящую через точку $I$ и параллельную прямой $AC$. Пусть эта прямая пересекает сторону $AB$ в точке $D$ и сторону $BC$ в точке $E$.

Отрезок $DE$ является искомым.

Доказательство:

По построению, отрезок $DE$ параллелен прямой $AC$, и точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Нам осталось доказать, что $DE = AD + CE$.

Точка $I$ (пересечение биссектрис) лежит на отрезке $DE$.

Рассмотрим треугольник $ADI$.

• $AI$ — биссектриса угла $A$, поэтому $\angle DAI = \angle IAC$.
• Так как $DE \parallel AC$, то накрест лежащие углы при секущей $AI$ равны: $\angle DIA = \angle IAC$.
• Из этих двух равенств следует, что $\angle DAI = \angle DIA$.
• Следовательно, треугольник $ADI$ является равнобедренным с основанием $AI$. Отсюда $AD = DI$.

Рассмотрим треугольник $CEI$.

• $CI$ — биссектриса угла $C$, поэтому $\angle ECI = \angle ICA$.
• Так как $DE \parallel AC$, то накрест лежащие углы при секущей $CI$ равны: $\angle EIC = \angle ICA$.
• Из этих двух равенств следует, что $\angle ECI = \angle EIC$.
• Следовательно, треугольник $CEI$ является равнобедренным с основанием $CI$. Отсюда $CE = EI$.

Длина отрезка $DE$ равна сумме длин его частей: $DE = DI + IE$.

Подставляя найденные равенства, получаем: $DE = AD + CE$.

Все условия задачи выполнены. Построение верно.

Ответ:

Для построения искомого отрезка $DE$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Построить биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$.
2. Найти точку их пересечения $I$.
3. Через точку $I$ провести прямую, параллельную стороне $AC$.
4. Точки пересечения этой прямой со сторонами $AB$ и $BC$ и будут являться концами искомого отрезка $D$ и $E$.

327 Дан равносторонний треугольник ABC и точка В₁ на стороне АС. На сторонах ВС и AB постройте точки A₁ и С₁ так, чтобы треугольник А₁В₁С₁ был равносторонним.

Для решения данной задачи воспользуемся методом поворота или проанализируем свойства получившихся треугольников. Анализ свойств приводит к более простому построению.

Анализ и идея решения

Пусть равносторонний треугольник $A_1B_1C_1$ уже построен. Его вершины лежат на сторонах равностороннего треугольника $ABC$. Это означает, что $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$ и $A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1$.

Рассмотрим три треугольника, образовавшихся в углах исходного треугольника $ABC$: $\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle CB_1A_1$.

Можно доказать, что для того, чтобы вписанный треугольник $A_1B_1C_1$ был равносторонним, необходимо и достаточно, чтобы три угловых треугольника были конгруэнтны. Докажем, что если эти треугольники конгруэнтны, то $A_1B_1C_1$ — равносторонний.

Условие конгруэнтности треугольников $\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle CB_1A_1$ по первому признаку (две стороны и угол между ними) приводит к следующим равенствам отрезков:

$AC_1 = BA_1 = CB_1$

$AB_1 = BC_1 = CA_1$

Если эти равенства выполнены, то по признаку SAS (сторона-угол-сторона), так как $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$, треугольники $\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle CB_1A_1$ действительно конгруэнтны.

Из конгруэнтности этих треугольников следует равенство их третьих сторон: $B_1C_1 = C_1A_1 = A_1B_1$. Это означает, что треугольник $A_1B_1C_1$ является равносторонним.

Таким образом, задача сводится к построению точек $A_1$ и $C_1$, удовлетворяющих этим условиям. Поскольку точка $B_1$ задана, отрезки $AB_1$ и $CB_1$ известны. Мы можем использовать их длины для построения.

Алгоритм построения

Пусть дана точка $B_1$ на стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$.

1. Построение точки $C_1$ на стороне $AB$. Измерим с помощью циркуля длину отрезка $CB_1$. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в вершину $A$ и проведем дугу, пересекающую сторону $AB$. Точка пересечения и будет искомой точкой $C_1$. Таким образом, мы построили $AC_1 = CB_1$.
2. Построение точки $A_1$ на стороне $BC$. Измерим с помощью циркуля длину отрезка $AB_1$. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в вершину $C$ и проведем дугу, пересекающую сторону $BC$. Точка пересечения и будет искомой точкой $A_1$. Таким образом, мы построили $CA_1 = AB_1$.

В результате мы получили точки $A_1$ на $BC$ и $C_1$ на $AB$.

Доказательство

Докажем, что построенный по этому алгоритму треугольник $A_1B_1C_1$ является равносторонним.

По построению мы имеем:

1. $AC_1 = CB_1$
2. $CA_1 = AB_1$

Рассмотрим три треугольника: $\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle CB_1A_1$.

• В $\triangle AC_1B_1$ стороны, прилежащие к углу $\angle A=60^\circ$, равны $AC_1$ и $AB_1$.
• В $\triangle CB_1A_1$ стороны, прилежащие к углу $\angle C=60^\circ$, равны $CB_1$ и $CA_1$. Из построения (1) и (2) следует, что $CB_1 = AC_1$ и $CA_1 = AB_1$. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними, $\triangle CB_1A_1 \cong \triangle AC_1B_1$. Из этого следует, что $A_1B_1 = C_1B_1$.
• В $\triangle BA_1C_1$ стороны, прилежащие к углу $\angle B=60^\circ$, равны $BA_1$ и $BC_1$. Найдем длины этих сторон. Пусть сторона треугольника $ABC$ равна $a$. $BA_1 = BC - CA_1 = a - CA_1$. По построению $CA_1 = AB_1$, значит $BA_1 = a - AB_1 = CB_1$. $BC_1 = AB - AC_1 = a - AC_1$. По построению $AC_1 = CB_1$, значит $BC_1 = a - CB_1 = AB_1$. Таким образом, стороны треугольника $\triangle BA_1C_1$ равны $CB_1$ и $AB_1$. Сравнивая с $\triangle AC_1B_1$, у которого стороны $AC_1 = CB_1$ и $AB_1$, мы видим, что $\triangle BA_1C_1 \cong \triangle AC_1B_1$ по двум сторонам и углу между ними. Из этого следует, что $A_1C_1 = B_1C_1$.

Мы получили, что $A_1B_1 = B_1C_1$ и $A_1C_1 = B_1C_1$. Следовательно, $A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1$.

Таким образом, треугольник $A_1B_1C_1$ является равносторонним, что и требовалось доказать.

Ответ: Чтобы построить точки $A_1$ и $C_1$, нужно на стороне $AB$ отложить от вершины $A$ отрезок $AC_1$, равный отрезку $CB_1$, и на стороне $BC$ отложить от вершины $C$ отрезок $CA_1$, равный отрезку $AB_1$.

328* Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.

Задача состоит в построении треугольника по заданному углу при одной из вершин, а также по длинам высоты и биссектрисы, проведенным из этой же вершины. Решение задачи включает в себя анализ, описание шагов построения, доказательство корректности и исследование условий, при которых задача имеет решение.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Обозначим вершину с заданным углом как $A$, величину этого угла как $\alpha$. Пусть $h_a$ — длина высоты $AH$, опущенной на сторону $BC$, а $l_a$ — длина биссектрисы $AL$ угла $A$.

По определению высоты, $AH$ перпендикулярна прямой, содержащей сторону $BC$. Следовательно, треугольник $AHL$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$. В этом треугольнике нам известны длины гипотенузы $AL = l_a$ и катета $AH = h_a$. Это означает, что мы можем построить $\triangle AHL$ с помощью циркуля и линейки, если $l_a \ge h_a$.

После построения $\triangle AHL$ мы получаем положение вершины $A$, прямой $m$ (содержащей $BC$) и точки $L$ на этой прямой.

Поскольку $AL$ является биссектрисой угла $A$, она делит этот угол на два равных угла: $\angle BAL = \angle CAL = \frac{\alpha}{2}$. Это означает, что стороны $AB$ и $AC$ симметричны относительно прямой $AL$.

Таким образом, для нахождения сторон $AB$ и $AC$ достаточно отложить от луча $AL$ в разные стороны углы, равные $\frac{\alpha}{2}$. Пересечение полученных лучей с прямой $m$ даст нам вершины $B$ и $C$.

Построение

Пусть даны угол $\alpha$ и два отрезка длиной $h_a$ и $l_a$.

1. Проведем произвольную прямую $m$. На ней будет лежать сторона $BC$ искомого треугольника.
2. Выберем на прямой $m$ произвольную точку $H$ и проведем через нее прямую $k$, перпендикулярную $m$.
3. На прямой $k$ отложим от точки $H$ отрезок $HA$ длиной $h_a$. Точка $A$ будет одной из вершин искомого треугольника.
4. С центром в точке $A$ проведем окружность радиусом $l_a$. Точка пересечения этой окружности с прямой $m$ будет точкой $L$. (Если $l_a < h_a$, пересечения не будет, и задача не имеет решения. Если $l_a > h_a$, будет две точки пересечения, симметричные относительно $H$. Выбор любой из них приведет к построению конгруэнтных треугольников).
5. Соединим точки $A$ и $L$. Получим отрезок $AL$ - биссектрису.
6. Построим угол, равный данному углу $\alpha$, и разделим его пополам, чтобы получить угол величиной $\frac{\alpha}{2}$.
7. От луча $AL$ в одну сторону отложим угол, равный $\frac{\alpha}{2}$, и проведем луч $r_1$.
8. От луча $AL$ в другую сторону отложим угол, равный $\frac{\alpha}{2}$, и проведем луч $r_2$.
9. Точки пересечения лучей $r_1$ и $r_2$ с прямой $m$ обозначим как $B$ и $C$ соответственно.
10. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, по построению является отрезком $AH$, и ее длина равна $h_a$.
• Отрезок $AL$ соединяет вершину $A$ с точкой $L$ на стороне $BC$. По построению, $\angle BAL = \angle CAL = \frac{\alpha}{2}$, следовательно, $AL$ является биссектрисой угла $A$. Ее длина по построению равна $l_a$.
• Угол при вершине $A$ равен $\angle BAC = \angle BAL + \angle CAL = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$.

Таким образом, построенный треугольник является искомым.

Исследование

Задача имеет решение не для всех наборов исходных данных.

1. Из шага 4 построения следует, что для существования точки $L$ необходимо, чтобы окружность радиуса $l_a$ пересекала прямую $m$. Расстояние от центра окружности $A$ до прямой $m$ равно $h_a$. Следовательно, необходимое условие: $l_a \ge h_a$. Если $l_a < h_a$, задача не имеет решения.
2. Если $l_a = h_a$, то точки $H$ и $L$ совпадают. Это означает, что высота и биссектриса, проведенные из вершины $A$, являются одним и тем же отрезком. Такой треугольник будет равнобедренным ($AB = AC$). Задача имеет решение для любого угла $\alpha$ из интервала $(0, 180^\circ)$.
3. Если $l_a > h_a$, то для существования невырожденного треугольника $ABC$ необходимо, чтобы углы $\angle B$ и $\angle C$ были положительными. Пусть $\theta = \angle HAL$. Из прямоугольного $\triangle AHL$ имеем $\cos\theta = \frac{h_a}{l_a}$. Углы $\angle B$ и $\angle C$ можно найти из прямоугольных треугольников $AHB$ и $AHC$. $\angle B = 90^\circ - \angle BAH$ и $\angle C = 90^\circ - \angle CAH$. При этом $\angle BAH = \angle BAL + \angle LAH = \frac{\alpha}{2} + \theta$ и $\angle CAH = |\angle CAL - \angle LAH| = |\frac{\alpha}{2} - \theta|$. Для того чтобы углы были положительными, необходимо выполнение условия $\frac{\alpha}{2} + \theta < 90^\circ$.

Итак, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если выполнены условия: $l_a \ge h_a$ и $\frac{\alpha}{2} + \arccos\left(\frac{h_a}{l_a}\right) < 90^\circ$. (Для случая $l_a=h_a$ второе условие превращается в $\frac{\alpha}{2} < 90^\circ$, что всегда верно для угла треугольника).

Ответ: Алгоритм построения описан выше. Он заключается в последовательном построении: 1) прямоугольного треугольника $AHL$ по известному катету $h_a$ и гипотенузе $l_a$; 2) лучей $AB$ и $AC$, образующих с построенной биссектрисой $AL$ углы, равные половине данного угла $\alpha$; 3) вершин $B$ и $C$ как точек пересечения этих лучей с прямой $HL$. Построение возможно при выполнении условий $l_a \ge h_a$ и $\frac{\alpha}{2} + \arccos(\frac{h_a}{l_a}) < 90^\circ$.

329* Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведённым к этой стороне.

Для решения задачи по построению треугольника по стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне, выполним анализ, построение, доказательство и исследование.

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Обозначим данные нам элементы: $a$ — длина стороны $BC$, $h_a$ — длина высоты $AH$, проведенной к стороне $BC$ ($H$ — основание высоты на прямой $BC$), и $m_a$ — длина медианы $AM$, проведенной к той же стороне ($M$ — середина стороны $BC$).

Положение вершины $A$ можно определить, исходя из двух условий:

1. Вершина $A$ удалена от прямой $BC$ на расстояние, равное высоте $h_a$. Геометрическим местом точек, удовлетворяющих этому условию, являются две прямые, параллельные прямой $BC$ и находящиеся от нее на расстоянии $h_a$.
2. Вершина $A$ удалена от середины $M$ стороны $BC$ на расстояние, равное медиане $m_a$. Геометрическим местом точек, удовлетворяющих этому условию, является окружность с центром в точке $M$ и радиусом $m_a$.

Таким образом, вершина $A$ является точкой пересечения окружности и одной из параллельных прямых. Основание треугольника $BC$ лежит на прямой, проходящей через точку $M$, и имеет длину $a$, причем $M$ является его серединой.

Также можно заметить, что высота $AH$, медиана $AM$ и отрезок $HM$ на стороне треугольника образуют прямоугольный треугольник $AHM$ ($?AHM = 90°$), где катет $AH = h_a$, а гипотенуза $AM = m_a$. Из этого следует необходимое условие для существования решения: $m_a \ge h_a$.

Пусть даны три отрезка, длины которых равны $a$, $h_a$ и $m_a$.

1. Проведем произвольную прямую $d$. На ней будет располагаться сторона $BC$ искомого треугольника.
2. Построим прямую $p$, параллельную прямой $d$ и отстоящую от нее на расстояние, равное длине высоты $h_a$. Вершина $A$ будет лежать на этой прямой.
3. На прямой $d$ выберем произвольную точку $M$. Эта точка будет серединой стороны $BC$.
4. Из точки $M$ как из центра проведем окружность радиусом, равным длине медианы $m_a$. Точка (или точки) пересечения этой окружности с прямой $p$ и будет вершиной $A$. Обозначим одну из таких точек пересечения буквой $A$.
5. Теперь построим сторону $BC$. Из точки $M$ на прямой $d$ проведем окружность радиусом, равным половине длины стороны $a$, то есть $a/2$. Точки пересечения этой окружности с прямой $d$ обозначим $B$ и $C$.
6. Соединим отрезками точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $BC$ по построению равна $BM + MC = a/2 + a/2 = a$.
• Вершина $A$ лежит на прямой $p$, которая параллельна прямой $d$ (содержащей сторону $BC$) и удалена от нее на расстояние $h_a$. Следовательно, высота треугольника, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, равна $h_a$.
• Точка $M$ по построению является серединой отрезка $BC$. Следовательно, отрезок $AM$ является медианой. Длина этого отрезка по построению равна $m_a$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Проанализируем, при каких условиях задача имеет решение.

Решение существует, если на шаге 4 построения окружность с центром в $M$ и радиусом $m_a$ пересекает прямую $p$. Расстояние от центра окружности (точки $M$) до прямой $p$ равно $h_a$. Пересечение существует тогда и только тогда, когда радиус окружности не меньше этого расстояния.

• Если $m_a > h_a$, окружность пересекает прямую $p$ в двух точках. Это дает два симметричных относительно перпендикуляра, опущенного из $M$ на $p$, решения. Получаемые треугольники конгруэнтны, поэтому решение, по сути, одно (с точностью до конгруэнтности).
• Если $m_a = h_a$, окружность касается прямой $p$ в одной точке. В этом случае основание высоты $H$ совпадает с серединой стороны $M$, а треугольник является равнобедренным ($AB=AC$). Решение единственно.
• Если $m_a < h_a$, окружность не пересекает прямую $p$, и построение вершины $A$ невозможно. В этом случае задача не имеет решений.

Длина стороны $a$ может быть любой положительной величиной и не влияет на количество решений.

Ответ: Алгоритм построения следующий: 1. Провести прямую $d$ и параллельную ей прямую $p$ на расстоянии $h_a$. 2. Выбрать на прямой $d$ точку $M$ (середину будущей стороны). 3. Найти вершину $A$ как пересечение прямой $p$ и окружности с центром в $M$ и радиусом $m_a$. 4. Найти вершины $B$ и $C$ как пересечение прямой $d$ и окружности с центром в $M$ и радиусом $a/2$. 5. Соединить вершины $A, B, C$. Построение возможно при условии $m_a \ge h_a$.

330* Дан треугольник ABC с прямым углом А. На стороне AB постройте точку М, находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС.

Анализ

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $A$ ($\angle A = 90^\circ$). Задача состоит в том, чтобы на катете $AB$ найти такую точку $M$, что расстояние от нее до гипотенузы $BC$ равно длине отрезка $AM$.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим $MH$ перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую $BC$. Согласно условию задачи, должно выполняться равенство $AM = MH$.

Теперь рассмотрим расстояние от точки $M$ до прямой, содержащей катет $AC$. Так как точка $M$ лежит на катете $AB$, а угол $A$ — прямой, то прямая $AB$ перпендикулярна прямой $AC$ ($AB \perp AC$). Это означает, что отрезок $AM$ и есть перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую $AC$. Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ в точности равно длине отрезка $AM$.

Таким образом, условие задачи $AM = MH$ можно переписать в следующем виде: расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $BC$.

Как известно из геометрии, геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это биссектриса угла, образованного этими прямыми. В нашем случае точка $M$ должна быть равноудалена от прямых $AC$ и $BC$, которые пересекаются в точке $C$ и образуют угол $\angle ACB$.

Следовательно, искомая точка $M$ должна лежать на биссектрисе угла $\angle ACB$. Поскольку по условию точка $M$ также должна лежать на стороне $AB$, то она является точкой пересечения биссектрисы угла $C$ и стороны $AB$.

Построение

1. Построить биссектрису угла $\angle ACB$. Для этого с помощью циркуля провести дугу с центром в вершине $C$, которая пересечет стороны $AC$ и $BC$ в некоторых точках.
2. Из полученных точек пересечения на сторонах угла провести две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись во внутренней области угла.
3. Провести луч из вершины $C$ через точку пересечения этих дуг. Построенный луч является биссектрисой угла $\angle ACB$.
4. Точка, в которой биссектриса пересекает сторону $AB$, и будет искомой точкой $M$.

Доказательство

Пусть $M$ — это точка, полученная в результате пересечения биссектрисы угла $\angle ACB$ и стороны $AB$. По построению, $M$ лежит на стороне $AB$. Необходимо доказать, что она удовлетворяет условию задачи, то есть что расстояние от $M$ до прямой $BC$ равно $AM$.

По определению, расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ есть длина перпендикуляра $MH$, опущенного из $M$ на $BC$.

Так как точка $M$ лежит на биссектрисе угла $\angle ACB$, она равноудалена от сторон этого угла, то есть от прямых $AC$ и $BC$. Это означает, что расстояние от $M$ до $AC$ равно расстоянию от $M$ до $BC$.

Расстояние от точки $M$, лежащей на прямой $AB$, до прямой $AC$ (при условии, что $AB \perp AC$) равно длине отрезка $AM$.

Следовательно, мы имеем равенство $AM = MH$, что и требовалось доказать. Построенная точка $M$ является решением задачи.

Ответ: Искомая точка $M$ — это точка пересечения биссектрисы угла $C$ треугольника $ABC$ со стороной $AB$.