Номер 327, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 327, страница 90.

327 Дан равносторонний треугольник ABC и точка В₁ на стороне АС. На сторонах ВС и AB постройте точки A₁ и С₁ так, чтобы треугольник А₁В₁С₁ был равносторонним.

Для решения данной задачи воспользуемся методом поворота или проанализируем свойства получившихся треугольников. Анализ свойств приводит к более простому построению.

Анализ и идея решения

Пусть равносторонний треугольник $A_1B_1C_1$ уже построен. Его вершины лежат на сторонах равностороннего треугольника $ABC$. Это означает, что $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$ и $A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1$.

Рассмотрим три треугольника, образовавшихся в углах исходного треугольника $ABC$: $\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle CB_1A_1$.

Можно доказать, что для того, чтобы вписанный треугольник $A_1B_1C_1$ был равносторонним, необходимо и достаточно, чтобы три угловых треугольника были конгруэнтны. Докажем, что если эти треугольники конгруэнтны, то $A_1B_1C_1$ — равносторонний.

Условие конгруэнтности треугольников $\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle CB_1A_1$ по первому признаку (две стороны и угол между ними) приводит к следующим равенствам отрезков:

$AC_1 = BA_1 = CB_1$

$AB_1 = BC_1 = CA_1$

Если эти равенства выполнены, то по признаку SAS (сторона-угол-сторона), так как $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$, треугольники $\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle CB_1A_1$ действительно конгруэнтны.

Из конгруэнтности этих треугольников следует равенство их третьих сторон: $B_1C_1 = C_1A_1 = A_1B_1$. Это означает, что треугольник $A_1B_1C_1$ является равносторонним.

Таким образом, задача сводится к построению точек $A_1$ и $C_1$, удовлетворяющих этим условиям. Поскольку точка $B_1$ задана, отрезки $AB_1$ и $CB_1$ известны. Мы можем использовать их длины для построения.

Алгоритм построения

Пусть дана точка $B_1$ на стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$.

1. Построение точки $C_1$ на стороне $AB$. Измерим с помощью циркуля длину отрезка $CB_1$. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в вершину $A$ и проведем дугу, пересекающую сторону $AB$. Точка пересечения и будет искомой точкой $C_1$. Таким образом, мы построили $AC_1 = CB_1$.
2. Построение точки $A_1$ на стороне $BC$. Измерим с помощью циркуля длину отрезка $AB_1$. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в вершину $C$ и проведем дугу, пересекающую сторону $BC$. Точка пересечения и будет искомой точкой $A_1$. Таким образом, мы построили $CA_1 = AB_1$.

В результате мы получили точки $A_1$ на $BC$ и $C_1$ на $AB$.

Доказательство

Докажем, что построенный по этому алгоритму треугольник $A_1B_1C_1$ является равносторонним.

По построению мы имеем:

1. $AC_1 = CB_1$
2. $CA_1 = AB_1$

Рассмотрим три треугольника: $\triangle AC_1B_1$, $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle CB_1A_1$.

• В $\triangle AC_1B_1$ стороны, прилежащие к углу $\angle A=60^\circ$, равны $AC_1$ и $AB_1$.
• В $\triangle CB_1A_1$ стороны, прилежащие к углу $\angle C=60^\circ$, равны $CB_1$ и $CA_1$. Из построения (1) и (2) следует, что $CB_1 = AC_1$ и $CA_1 = AB_1$. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними, $\triangle CB_1A_1 \cong \triangle AC_1B_1$. Из этого следует, что $A_1B_1 = C_1B_1$.
• В $\triangle BA_1C_1$ стороны, прилежащие к углу $\angle B=60^\circ$, равны $BA_1$ и $BC_1$. Найдем длины этих сторон. Пусть сторона треугольника $ABC$ равна $a$. $BA_1 = BC - CA_1 = a - CA_1$. По построению $CA_1 = AB_1$, значит $BA_1 = a - AB_1 = CB_1$. $BC_1 = AB - AC_1 = a - AC_1$. По построению $AC_1 = CB_1$, значит $BC_1 = a - CB_1 = AB_1$. Таким образом, стороны треугольника $\triangle BA_1C_1$ равны $CB_1$ и $AB_1$. Сравнивая с $\triangle AC_1B_1$, у которого стороны $AC_1 = CB_1$ и $AB_1$, мы видим, что $\triangle BA_1C_1 \cong \triangle AC_1B_1$ по двум сторонам и углу между ними. Из этого следует, что $A_1C_1 = B_1C_1$.

Мы получили, что $A_1B_1 = B_1C_1$ и $A_1C_1 = B_1C_1$. Следовательно, $A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1$.

Таким образом, треугольник $A_1B_1C_1$ является равносторонним, что и требовалось доказать.

Ответ: Чтобы построить точки $A_1$ и $C_1$, нужно на стороне $AB$ отложить от вершины $A$ отрезок $AC_1$, равный отрезку $CB_1$, и на стороне $BC$ отложить от вершины $C$ отрезок $CA_1$, равный отрезку $AB_1$.