Номер 332, страница 95 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Геометрические места точек. 40. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 332, страница 95.

332 Определите геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Мы ищем множество всех точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до прямой $a$ равно расстоянию до прямой $b$.

Доказательство:

1. Пусть точка $M$ равноудалена от прямых $a$ и $b$. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MA$ на прямую $a$ и $MB$ на прямую $b$ (где $A$ и $B$ — основания перпендикуляров). По определению расстояния от точки до прямой, длины этих перпендикуляров равны, то есть $MA = MB$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, а $MA \perp a$ и $MB \perp b$, то точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой, перпендикулярной обеим данным прямым. Отрезок $AB$ является общим перпендикуляром к прямым $a$ и $b$, и его длина — это расстояние между прямыми. Обозначим это расстояние как $d$, то есть $AB = d$.

Так как точка $M$ находится между прямыми $a$ и $b$, она лежит на отрезке $AB$. Следовательно, $AB = MA + MB$. Поскольку $MA = MB$, то $d = MA + MA = 2 \cdot MA$. Отсюда $MA = d/2$. Аналогично, $MB = d/2$.

Это означает, что любая точка $M$, равноудаленная от прямых $a$ и $b$, находится на расстоянии $d/2$ от каждой из них. Множество всех таких точек образует прямую, параллельную $a$ и $b$ и проходящую ровно посередине между ними. Назовем эту прямую $c$.

2. Теперь докажем обратное. Возьмём любую точку $N$ на прямой $c$, которая параллельна $a$ и $b$ и проходит посередине между ними. По определению, расстояние от любой точки прямой $c$ до прямой $a$ постоянно и равно $d/2$. Аналогично, расстояние от любой точки прямой $c$ до прямой $b$ также постоянно и равно $d/2$. Следовательно, любая точка $N$ на прямой $c$ равноудалена от прямых $a$ и $b$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек представляет собой прямую.

Ответ: Геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых, есть прямая, параллельная этим прямым и проходящая посередине между ними.