Номер 334, страница 95 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Геометрические места точек. 40. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 334, страница 95.

334 Даны угол и отрезок AB. Постройте точку M, равноудалённую от сторон угла и такую, что МА = МВ.

Для решения данной задачи необходимо найти геометрическое место точек, удовлетворяющих каждому из условий, а затем найти их пересечение.

1. Анализ задачи

Искомая точка $M$ должна удовлетворять двум условиям:

• Условие 1: Точка $M$ равноудалена от сторон данного угла. Геометрическим местом точек (ГМТ), равноудаленных от сторон угла, является его биссектриса.
• Условие 2: Точка $M$ равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть выполняется равенство $MA = MB$. Геометрическим местом точек (ГМТ), равноудаленных от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Следовательно, искомая точка $M$ является точкой пересечения биссектрисы данного угла и серединного перпендикуляра к отрезку $AB$.

2. План построения

1. Построить биссектрису $l$ данного угла.
2. Построить серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$.
3. Точка пересечения прямых $l$ и $m$ будет искомой точкой $M$.

3. Построение

Пусть дан некоторый угол с вершиной $O$ и отрезок $AB$.

1. Построение биссектрисы l.
   • Устанавливаем циркуль в вершину угла $O$ и проводим дугу произвольного радиуса, которая пересекает стороны угла в точках $C$ и $D$.
   • Из точек $C$ и $D$ проводим две дуги одинакового радиуса внутри угла так, чтобы они пересеклись. Обозначим точку их пересечения $K$.
   • Проводим луч $OK$. Этот луч и есть биссектриса $l$ данного угла.
2. Построение серединного перпендикуляра m.
   • Из точки $A$ проводим дугу окружности радиусом $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$.
   • Не меняя радиуса циркуля ($R$), из точки $B$ проводим другую дугу так, чтобы она пересекла первую. Получаем две точки пересечения дуг, $P_1$ и $P_2$.
   • Проводим прямую через точки $P_1$ и $P_2$. Эта прямая и есть серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$.
3. Нахождение точки M.
   • Находим точку пересечения построенных прямых $l$ и $m$. Эта точка $M$ является искомой.

4. Доказательство

По построению, точка $M$ лежит на биссектрисе $l$ угла, следовательно, она равноудалена от его сторон. Также, по построению, точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку $AB$, следовательно, для нее выполняется равенство $MA = MB$. Таким образом, построенная точка $M$ удовлетворяет всем условиям задачи.

5. Исследование

Задача имеет решение, если прямые $l$ (биссектриса) и $m$ (серединный перпендикуляр) пересекаются. В евклидовой геометрии на плоскости две различные прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

• Если $l$ и $m$ пересекаются, решение единственно. Это наиболее общий случай.
• Если $l$ и $m$ параллельны и не совпадают, то точек пересечения нет, и задача не имеет решения.
• Если $l$ и $m$ совпадают, то любая точка на этой прямой является решением, то есть задача имеет бесконечное множество решений. Это возможно лишь при очень специфическом взаимном расположении угла и отрезка.

Как правило, для произвольно заданных угла и отрезка задача имеет единственное решение.

Ответ: Искомая точка $M$ — это точка пересечения биссектрисы данного угла и серединного перпендикуляра к отрезку $AB$. Построение заключается в последовательном построении этих двух линий с помощью циркуля и линейки и нахождении их точки пересечения.