Номер 341, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 341, страница 103.
№341 (с. 103)
Условие. №341 (с. 103)
скриншот условия

341 Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.
Решение 1. №341 (с. 103)

Решение 10. №341 (с. 103)

Решение 11. №341 (с. 103)
Пусть в окружности с центром в точке $O$ проведены две равные хорды $AB$ и $CD$, то есть $AB = CD$. Необходимо доказать, что эти хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из центра $O$ перпендикуляры $OH$ и $OK$ к хордам $AB$ и $CD$ соответственно. Таким образом, по построению $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$. Нам нужно доказать, что длины этих перпендикуляров равны, то есть $OH = OK$.
Соединим центр окружности $O$ с точками $A$ и $C$, получив отрезки $OA$ и $OC$. Эти отрезки являются радиусами окружности, поэтому $OA = OC$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$. Они являются прямоугольными, так как $OH$ и $OK$ — перпендикуляры.
По свойству окружности, перпендикуляр, проведенный из центра к хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно:
- Точка $H$ является серединой хорды $AB$, поэтому $AH = \frac{1}{2}AB$.
- Точка $K$ является серединой хорды $CD$, поэтому $CK = \frac{1}{2}CD$.
Так как по условию $AB = CD$, то и их половины равны: $AH = CK$.
Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$:
1. Гипотенуза $OA$ равна гипотенузе $OC$ (как радиусы одной окружности).
2. Катет $AH$ равен катету $CK$ (как половины равных хорд).
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно катетов $OH$ и $OK$:
$OH = OK$
Поскольку $OH$ и $OK$ представляют собой расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$, мы доказали, что эти расстояния равны.
Ответ: Равные хорды окружности равноудалены от её центра, что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 341 расположенного на странице 103 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №341 (с. 103), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.