Номер 340, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 340, страница 103.

340 Докажите, что середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Рассмотрим некоторое множество параллельных между собой хорд этой окружности. Возьмем любую хорду $AB$ из этого множества. Пусть точка $M$ является ее серединой, то есть $AM = MB$.

По известному свойству окружности, радиус, проведенный в середину хорды, перпендикулярен этой хорде. В нашем случае это означает, что отрезок $OM$ перпендикулярен хорде $AB$. Математически это записывается как $OM \perp AB$.

Теперь выберем любую другую хорду $CD$ из того же множества параллельных хорд, так что $CD \parallel AB$. Пусть точка $N$ — середина хорды $CD$. Аналогично предыдущему пункту, отрезок $ON$ перпендикулярен хорде $CD$, то есть $ON \perp CD$.

Итак, мы имеем:

• $OM \perp AB$
• $ON \perp CD$
• $AB \parallel CD$

Из геометрии известно, что если две прямые параллельны, то любая прямая, перпендикулярная одной из них, будет перпендикулярна и другой. Рассмотрим прямую, на которой лежит отрезок $OM$. Эта прямая проходит через центр окружности $O$ и перпендикулярна хорде $AB$. Поскольку $AB \parallel CD$, эта же прямая будет перпендикулярна и хорде $CD$.

Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, проходит через ее середину. Таким образом, прямая, на которой лежит $OM$, должна проходить и через точку $N$ (середину хорды $CD$).

Это означает, что точки $O$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Поскольку эта прямая проходит через центр окружности $O$, она является диаметром.

Так как мы выбирали хорды $AB$ и $CD$ произвольно из всего множества параллельных хорд, данный вывод справедлив для середин всех хорд этого множества. Все они будут лежать на одном и том же диаметре, который перпендикулярен данным хордам.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Середина любой хорды лежит на диаметре, который перпендикулярен этой хорде. Так как все рассматриваемые хорды параллельны, то диаметр, перпендикулярный одной из них, будет перпендикулярен и всем остальным. Следовательно, все их середины лежат на одном и том же диаметре.