Номер 335, страница 95 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Геометрические места точек. 40. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 335, страница 95.

335 Биссектрисы внешних углов В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и СА.

Пусть дан треугольник $ABC$. Прямые, содержащие стороны треугольника, обозначим как $AB$, $BC$ и $CA$. Точка $O$ — точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $B$ и $C$. Нам необходимо доказать, что точка $O$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $CA$.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Опустим из точки $O$ перпендикуляры на прямые $AB$, $BC$ и $CA$. Обозначим их основания как $K$, $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, $OK \perp AB$, $OM \perp BC$, и $ON \perp CA$. Длины этих перпендикуляров $OK$, $OM$ и $ON$ являются расстояниями от точки $O$ до прямых $AB$, $BC$ и $CA$. Наша задача — доказать, что $OK = OM = ON$.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

1. Точка $O$ по условию лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $B$. Этот угол образован прямыми $AB$ и $BC$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от этих прямых. Это означает, что длины перпендикуляров, опущенных из точки $O$ на эти прямые, равны: $OK = OM$.

2. Аналогично, точка $O$ по условию лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $C$. Этот угол образован прямыми $BC$ и $CA$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от этих прямых. Это означает, что: $OM = ON$.

3. Из двух полученных равенств $OK = OM$ и $OM = ON$ следует, что все три расстояния равны между собой: $OK = OM = ON$.

Таким образом, мы доказали, что точка $O$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $CA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $O$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $CA$, так как она принадлежит биссектрисам двух внешних углов треугольника, и по свойству биссектрисы равноудалена от сторон каждого из этих углов.