Номер 338, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 338, страница 103.

338 Докажите, что если точка С — внутренняя точка относительно окружности, не лежащая на её диаметре АВ, то угол АСВ тупой.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. $AB$ — диаметр этой окружности, а значит $OA = OB = R$. Точка $C$ является внутренней точкой окружности и не лежит на диаметре $AB$.

Согласно определению внутренней точки окружности, расстояние от центра до этой точки меньше радиуса, то есть $OC < R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACB$. Соединим точку $C$ с центром окружности $O$ отрезком $OC$. Этот отрезок делит треугольник $\triangle ACB$ на два треугольника: $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOC$. В нем две стороны равны $OA = R$ и $OC < R$. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, угол $\angle OCA$, лежащий против стороны $OA$, больше угла $\angle OAC$, лежащего против стороны $OC$: $\angle OCA > \angle OAC$. (Угол $\angle OAC$ совпадает с углом $\angle CAB$).

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle BOC$. В нем стороны $OB = R$ и $OC < R$. Следовательно, угол $\angle OCB$, лежащий против стороны $OB$, больше угла $\angle OBC$, лежащего против стороны $OC$: $\angle OCB > \angle OBC$. (Угол $\angle OBC$ совпадает с углом $\angle CBA$).

Сложим полученные неравенства почленно: $\angle OCA + \angle OCB > \angle OAC + \angle OBC$

Сумма углов $\angle OCA$ и $\angle OCB$ образует угол $\angle ACB$. Таким образом, мы получаем неравенство для углов треугольника $\triangle ACB$: $\angle ACB > \angle CAB + \angle CBA$

Известно, что сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $\triangle ACB$ справедливо равенство: $\angle ACB + \angle CAB + \angle CBA = 180^\circ$

Из этого равенства выразим сумму углов $\angle CAB + \angle CBA$: $\angle CAB + \angle CBA = 180^\circ - \angle ACB$

Подставим это выражение в неравенство, полученное ранее: $\angle ACB > 180^\circ - \angle ACB$

Прибавим к обеим частям неравенства величину угла $\angle ACB$: $\angle ACB + \angle ACB > 180^\circ$ $2 \cdot \angle ACB > 180^\circ$

Разделив обе части на 2, получим окончательный результат: $\angle ACB > 90^\circ$

Угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, является тупым. Следовательно, угол $\angle ACB$ — тупой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.