Номер 331, страница 95 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 1. Геометрические места точек. 40. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку - номер 331, страница 95.

Условие.

331 Определите геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от двух пересекающихся прямых.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Пусть даны две прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $O$. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от этих двух прямых.

Пусть $M$ — произвольная точка, принадлежащая искомому ГМТ. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MA$ на прямую $a$ и $MB$ на прямую $b$. По определению искомого ГМТ, длины этих перпендикуляров должны быть равны: $MA = MB$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $?OAM$ (где $?OAM = 90°$) и $?OBM$ (где $?OBM = 90°$).

• Гипотенуза $OM$ у этих треугольников общая.
• Катет $MA$ равен катету $MB$ по условию.

Следовательно, прямоугольные треугольники $?OAM$ и $?OBM$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $?AOM = ?BOM$. Это означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла $AOB$, образованного прямыми $a$ и $b$. Таким образом, любая точка $M$, равноудалённая от прямых $a$ и $b$, лежит на биссектрисе угла, образованного этими прямыми.

При пересечении двух прямых образуются две пары смежных углов и две пары вертикальных углов. Проведенное рассуждение справедливо для любого из четырёх углов, образованных прямыми $a$ и $b$. Биссектрисы вертикальных углов являются продолжением друг друга и образуют одну прямую. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

Следовательно, все точки, равноудалённые от прямых $a$ и $b$, образуют две прямые, которые являются биссектрисами углов, образованных при пересечении прямых $a$ и $b$. Эти две биссектрисы проходят через точку пересечения $O$ и взаимно перпендикулярны.

Верно и обратное утверждение: любая точка, лежащая на одной из этих биссектрис, равноудалена от исходных прямых.

Ответ: Геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — это пара взаимно перпендикулярных прямых, являющихся биссектрисами углов, образованных данными прямыми.