Номер 329, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 329, страница 90.

329* Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведённым к этой стороне.

Для решения задачи по построению треугольника по стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне, выполним анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Обозначим данные нам элементы: $a$ — длина стороны $BC$, $h_a$ — длина высоты $AH$, проведенной к стороне $BC$ ($H$ — основание высоты на прямой $BC$), и $m_a$ — длина медианы $AM$, проведенной к той же стороне ($M$ — середина стороны $BC$).

Положение вершины $A$ можно определить, исходя из двух условий:

1. Вершина $A$ удалена от прямой $BC$ на расстояние, равное высоте $h_a$. Геометрическим местом точек, удовлетворяющих этому условию, являются две прямые, параллельные прямой $BC$ и находящиеся от нее на расстоянии $h_a$.
2. Вершина $A$ удалена от середины $M$ стороны $BC$ на расстояние, равное медиане $m_a$. Геометрическим местом точек, удовлетворяющих этому условию, является окружность с центром в точке $M$ и радиусом $m_a$.

Таким образом, вершина $A$ является точкой пересечения окружности и одной из параллельных прямых. Основание треугольника $BC$ лежит на прямой, проходящей через точку $M$, и имеет длину $a$, причем $M$ является его серединой.

Также можно заметить, что высота $AH$, медиана $AM$ и отрезок $HM$ на стороне треугольника образуют прямоугольный треугольник $AHM$ ($?AHM = 90°$), где катет $AH = h_a$, а гипотенуза $AM = m_a$. Из этого следует необходимое условие для существования решения: $m_a \ge h_a$.

Построение

Пусть даны три отрезка, длины которых равны $a$, $h_a$ и $m_a$.

1. Проведем произвольную прямую $d$. На ней будет располагаться сторона $BC$ искомого треугольника.
2. Построим прямую $p$, параллельную прямой $d$ и отстоящую от нее на расстояние, равное длине высоты $h_a$. Вершина $A$ будет лежать на этой прямой.
3. На прямой $d$ выберем произвольную точку $M$. Эта точка будет серединой стороны $BC$.
4. Из точки $M$ как из центра проведем окружность радиусом, равным длине медианы $m_a$. Точка (или точки) пересечения этой окружности с прямой $p$ и будет вершиной $A$. Обозначим одну из таких точек пересечения буквой $A$.
5. Теперь построим сторону $BC$. Из точки $M$ на прямой $d$ проведем окружность радиусом, равным половине длины стороны $a$, то есть $a/2$. Точки пересечения этой окружности с прямой $d$ обозначим $B$ и $C$.
6. Соединим отрезками точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $BC$ по построению равна $BM + MC = a/2 + a/2 = a$.
• Вершина $A$ лежит на прямой $p$, которая параллельна прямой $d$ (содержащей сторону $BC$) и удалена от нее на расстояние $h_a$. Следовательно, высота треугольника, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, равна $h_a$.
• Точка $M$ по построению является серединой отрезка $BC$. Следовательно, отрезок $AM$ является медианой. Длина этого отрезка по построению равна $m_a$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Проанализируем, при каких условиях задача имеет решение.

Решение существует, если на шаге 4 построения окружность с центром в $M$ и радиусом $m_a$ пересекает прямую $p$. Расстояние от центра окружности (точки $M$) до прямой $p$ равно $h_a$. Пересечение существует тогда и только тогда, когда радиус окружности не меньше этого расстояния.

• Если $m_a > h_a$, окружность пересекает прямую $p$ в двух точках. Это дает два симметричных относительно перпендикуляра, опущенного из $M$ на $p$, решения. Получаемые треугольники конгруэнтны, поэтому решение, по сути, одно (с точностью до конгруэнтности).
• Если $m_a = h_a$, окружность касается прямой $p$ в одной точке. В этом случае основание высоты $H$ совпадает с серединой стороны $M$, а треугольник является равнобедренным ($AB=AC$). Решение единственно.
• Если $m_a < h_a$, окружность не пересекает прямую $p$, и построение вершины $A$ невозможно. В этом случае задача не имеет решений.

Длина стороны $a$ может быть любой положительной величиной и не влияет на количество решений.

Ответ: Алгоритм построения следующий: 1. Провести прямую $d$ и параллельную ей прямую $p$ на расстоянии $h_a$. 2. Выбрать на прямой $d$ точку $M$ (середину будущей стороны). 3. Найти вершину $A$ как пересечение прямой $p$ и окружности с центром в $M$ и радиусом $m_a$. 4. Найти вершины $B$ и $C$ как пересечение прямой $d$ и окружности с центром в $M$ и радиусом $a/2$. 5. Соединить вершины $A, B, C$. Построение возможно при условии $m_a \ge h_a$.