Номер 324, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 324, страница 90.

324 С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 30°; б) 60°; в) 15°; г) 120°; д) 150°; е) 135°; ж) 165°; з) 75°; и) 105°.

Для решения всех пунктов задачи используются три базовых построения с помощью циркуля и линейки: построение равностороннего треугольника (даёт угол $60^\circ$), построение биссектрисы угла (делит угол пополам) и построение перпендикуляра к прямой (даёт угол $90^\circ$).

а) Угол $30^\circ$ получаем делением пополам угла в $60^\circ$, так как $30^\circ = \frac{60^\circ}{2}$. Сначала строим угол $\angle AOB = 60^\circ$. Затем строим его биссектрису. Для этого из вершины $O$ проводим дугу, пересекающую стороны угла в точках $M$ и $N$. Из точек $M$ и $N$ проводим две пересекающиеся дуги равного радиуса в точке $K$. Луч $OK$ является биссектрисой, и угол $\angle AOK$ равен $30^\circ$.
Ответ: Угол $30^\circ$ построен путем построения угла $60^\circ$ и его последующего деления пополам с помощью построения биссектрисы.

б) Построение угла в $60^\circ$ основано на построении равностороннего треугольника. Для этого начертим луч $OA$, затем с центром в точке $O$ проведём дугу произвольного радиуса $R$, пересекающую луч в точке $B$. С центром в точке $B$ и тем же радиусом $R$ проведём вторую дугу, пересекающую первую в точке $C$. Проведём луч $OC$. Угол $\angle COA$ равен $60^\circ$, так как треугольник $\triangle OBC$ является равносторонним.
Ответ: Угол $60^\circ$ построен с помощью построения равностороннего треугольника.

в) Угол $15^\circ$ получаем делением пополам угла в $30^\circ$, так как $15^\circ = \frac{30^\circ}{2}$. Сначала строим угол в $30^\circ$ (как в пункте а), а затем строим его биссектрису. Полученный угол будет равен $15^\circ$.
Ответ: Угол $15^\circ$ построен путем последовательного деления угла $60^\circ$ пополам дважды.

г) Угол $120^\circ$ является смежным с углом $60^\circ$, так как $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$. Проводим прямую и отмечаем на ней точку $O$. От одного из лучей с началом в точке $O$ откладываем угол $60^\circ$ (как в пункте б). Угол, смежный с построенным, будет искомым углом в $120^\circ$.
Ответ: Угол $120^\circ$ построен как угол, смежный с углом $60^\circ$.

д) Угол $150^\circ$ является смежным с углом $30^\circ$, так как $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$. Проводим прямую, на ней точку $O$. От одного из лучей с началом в $O$ откладываем угол $30^\circ$ (как в пункте а). Угол, смежный с построенным, будет равен $150^\circ$.
Ответ: Угол $150^\circ$ построен как угол, смежный с углом $30^\circ$.

е) Угол $135^\circ$ является смежным с углом $45^\circ$, так как $135^\circ = 180^\circ - 45^\circ$. Проводим прямую и на ней точку $O$. В точке $O$ строим перпендикуляр к прямой, получая угол $90^\circ$. Строим биссектрису этого прямого угла, получая угол $45^\circ$. Угол, смежный с полученным углом в $45^\circ$, и будет искомым углом в $135^\circ$.
Ответ: Угол $135^\circ$ построен как угол, смежный с углом $45^\circ$.

ж) Угол $165^\circ$ является смежным с углом $15^\circ$, так как $165^\circ = 180^\circ - 15^\circ$. Проводим прямую, на ней точку $O$. От одного из лучей с началом в $O$ откладываем угол $15^\circ$ (как в пункте в). Угол, смежный с построенным, будет равен $165^\circ$.
Ответ: Угол $165^\circ$ построен как угол, смежный с углом $15^\circ$.

з) Угол $75^\circ$ можно построить как сумму углов $60^\circ$ и $15^\circ$, то есть $75^\circ = 60^\circ + 15^\circ$. Сначала строим угол $\angle AOB = 60^\circ$. Затем строим угол $15^\circ$ так, чтобы одна из его сторон совпадала с лучом $OB$, а сам угол лежал вне угла $\angle AOB$. Для построения $15^\circ$ строим смежный с $\angle AOB$ угол $\angle BOC = 60^\circ$, делим его биссектрисой $OD$ пополам (получив $\angle BOD = 30^\circ$) и затем еще раз делим биссектрисой $OE$ угол $\angle BOD$ (получив $\angle BOE = 15^\circ$). Искомый угол $\angle AOE = \angle AOB + \angle BOE = 60^\circ + 15^\circ = 75^\circ$.
Ответ: Угол $75^\circ$ построен как сумма углов $60^\circ$ и $15^\circ$.

и) Угол $105^\circ$ можно построить как сумму углов $60^\circ$ и $45^\circ$, то есть $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$. Строим угол $\angle AOB = 60^\circ$. К стороне $OB$ пристраиваем прямой угол $\angle BOC = 90^\circ$. Затем строим биссектрису $OD$ угла $\angle BOC$, которая делит его на два угла по $45^\circ$. Искомый угол $\angle AOD = \angle AOB + \angle BOD = 60^\circ + 45^\circ = 105^\circ$.
Ответ: Угол $105^\circ$ построен как сумма углов $60^\circ$ и $45^\circ$.