Номер 319, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 319, страница 90.

319 Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.

Дано:

Пусть даны два равных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, то есть $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон и углов:
$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$;
$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.
Проведём высоту $BH$ к стороне $AC$ в треугольнике $\triangle ABC$ и высоту $B_1H_1$ к соответственной ей равной стороне $A_1C_1$ в треугольнике $\triangle A_1B_1C_1$.
По определению высоты, $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$.

Доказать:

$BH = B_1H_1$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$.

Так как $BH$ и $B_1H_1$ — высоты, то они перпендикулярны сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. Следовательно, углы $\angle BHA$ и $\angle B_1H_1A_1$ являются прямыми, $\angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$. Это означает, что треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ — прямоугольные.

Сравним эти прямоугольные треугольники:

1. Гипотенуза $AB$ треугольника $\triangle ABH$ равна гипотенузе $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1H_1$ ($AB = A_1B_1$), так как это соответственные стороны в равных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

2. Острый угол $\angle A$ треугольника $\triangle ABH$ равен острому углу $\angle A_1$ треугольника $\triangle A_1B_1H_1$ ($\angle A = \angle A_1$), так как это соответственные углы в тех же равных треугольниках.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников $\triangle ABH = \triangle A_1B_1H_1$ следует равенство их соответственных сторон. В частности, катет $BH$ треугольника $\triangle ABH$ равен соответственному катету $B_1H_1$ треугольника $\triangle A_1B_1H_1$.

Значит, $BH = B_1H_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Высоты, проведённые к равным сторонам в равных треугольниках, равны.