Номер 314, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Дополнительные задачи - номер 314, страница 89.

Условие.

314 Докажите методом от противного: если для трёх точек A, B и C справедливо равенство AB = AC + CB, то точки A, B и C лежат на одной прямой.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что утверждение неверно, то есть точки $A$, $B$ и $C$, для которых выполняется равенство $AB = AC + CB$, не лежат на одной прямой.

Если три точки не лежат на одной прямой, то они являются вершинами треугольника. В нашем случае это будет треугольник $ABC$, длины сторон которого равны длинам отрезков $AB$, $AC$ и $CB$.

Для любого существующего треугольника справедливо неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон всегда строго больше длины третьей стороны. Применим это правило к нашему предполагаемому треугольнику $ABC$ и его стороне $AB$. Неравенство будет выглядеть так:

$AC + CB > AB$

Теперь сравним полученный результат, следующий из нашего предположения, с исходным условием задачи, которое утверждает:

$AB = AC + CB$

Мы пришли к очевидному противоречию. Из нашего предположения следует, что сумма $AC + CB$ должна быть строго больше $AB$, в то время как из условия задачи эта же сумма равна $AB$. Выражение не может быть одновременно строго больше и равно другому выражению.

Возникшее противоречие означает, что наше первоначальное предположение было ложным. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ не могут образовывать треугольник, а значит, они лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.