Номер 314, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 314, страница 89.

314 Докажите методом от противного: если для трёх точек A, B и C справедливо равенство AB = AC + CB, то точки A, B и C лежат на одной прямой.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что утверждение неверно, то есть точки $A$, $B$ и $C$, для которых выполняется равенство $AB = AC + CB$, не лежат на одной прямой.

Если три точки не лежат на одной прямой, то они являются вершинами треугольника. В нашем случае это будет треугольник $ABC$, длины сторон которого равны длинам отрезков $AB$, $AC$ и $CB$.

Для любого существующего треугольника справедливо неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон всегда строго больше длины третьей стороны. Применим это правило к нашему предполагаемому треугольнику $ABC$ и его стороне $AB$. Неравенство будет выглядеть так:

$AC + CB > AB$

Теперь сравним полученный результат, следующий из нашего предположения, с исходным условием задачи, которое утверждает:

$AB = AC + CB$

Мы пришли к очевидному противоречию. Из нашего предположения следует, что сумма $AC + CB$ должна быть строго больше $AB$, в то время как из условия задачи эта же сумма равна $AB$. Выражение не может быть одновременно строго больше и равно другому выражению.

Возникшее противоречие означает, что наше первоначальное предположение было ложным. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ не могут образовывать треугольник, а значит, они лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.