Номер 310, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 310, страница 89.

310 Из точки А к прямой a проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ₁ и АМ₂. Докажите, что:

а) если АМ₁ = АМ₂, то НМ₁ = НМ₂;

б) если АМ₁ < АМ₂, то HM₁ < HM₂.

По условию задачи, из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH и наклонные AM? и AM?. Это означает, что отрезок AH перпендикулярен прямой a, и, следовательно, треугольники $ \triangle AHM_1 $ и $ \triangle AHM_2 $ являются прямоугольными ($ \angle AHM_1 = \angle AHM_2 = 90^\circ $). Катет AH является общим для этих двух треугольников. Отрезки HM? и HM? — это проекции наклонных AM? и AM? на прямую a.

а) если $ AM_1=AM_2 $, то $ HM_1=HM_2 $

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle AHM_1 $ и $ \triangle AHM_2 $.

1. Катет AH — является общим для обоих треугольников.

2. Гипотенузы равны по условию: $ AM_1 = AM_2 $.

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle AHM_1 $ и $ \triangle AHM_2 $ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, катет $ HM_1 $ треугольника $ \triangle AHM_1 $ равен катету $ HM_2 $ треугольника $ \triangle AHM_2 $.

Таким образом, $ HM_1 = HM_2 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) если $ AM_1<AM_2 $, то $ HM_1<HM_2 $

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle AHM_1 $ и $ \triangle AHM_2 $. Для каждого из них применим теорему Пифагора, которая связывает катеты и гипотенузу:

$ AM_1^2 = AH^2 + HM_1^2 $

$ AM_2^2 = AH^2 + HM_2^2 $

Выразим из этих формул квадраты проекций $ HM_1 $ и $ HM_2 $:

$ HM_1^2 = AM_1^2 - AH^2 $

$ HM_2^2 = AM_2^2 - AH^2 $

По условию нам дано, что $ AM_1 < AM_2 $. Поскольку длины отрезков являются положительными величинами, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, и знак неравенства сохранится: $ AM_1^2 < AM_2^2 $.

Теперь сравним выражения для $ HM_1^2 $ и $ HM_2^2 $. Мы вычитаем одно и то же значение ($ AH^2 $) из обеих частей неравенства $ AM_1^2 < AM_2^2 $. Это не меняет знак неравенства:

$ AM_1^2 - AH^2 < AM_2^2 - AH^2 $

Отсюда следует, что $ HM_1^2 < HM_2^2 $.

Так как $ HM_1 $ и $ HM_2 $ — это длины отрезков, они являются положительными числами. Поэтому извлечение квадратного корня из обеих частей неравенства сохранит знак:

$ \sqrt{HM_1^2} < \sqrt{HM_2^2} $

Что равносильно $ HM_1 < HM_2 $.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.