Номер 304, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 304, страница 89.

304 В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов В и С пересекаются в точке О. Докажите, что угол ВОС равен внешнему углу треугольника при вершине В.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором по условию углы при основании $BC$ равны: $\angle ABC = \angle ACB$. Будем обозначать эти углы как $\angle B$ и $\angle C$.

По условию, $BO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $B$ и $C$ соответственно, и они пересекаются в точке $O$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, следовательно:
$\angle OBC = \frac{1}{2} \angle B$
$\angle OCB = \frac{1}{2} \angle C$

Рассмотрим треугольник $BOC$. Сумма его внутренних углов равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать:
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$

Подставим в это равенство выражения для углов $\angle OBC$ и $\angle OCB$:
$\angle BOC + \frac{1}{2} \angle B + \frac{1}{2} \angle C = 180^\circ$

Так как по условию треугольник $ABC$ является равнобедренным с равными углами $B$ и $C$, мы можем заменить $\angle C$ на $\angle B$:
$\angle BOC + \frac{1}{2} \angle B + \frac{1}{2} \angle B = 180^\circ$
$\angle BOC + \angle B = 180^\circ$

Из этого уравнения выразим искомую величину угла $\angle BOC$:
$\angle BOC = 180^\circ - \angle B$

Теперь найдем величину внешнего угла треугольника $ABC$ при вершине $B$. Внешний угол треугольника при данной вершине является смежным с внутренним углом при этой же вершине. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$. Обозначим внешний угол при вершине $B$ как $\angle B_{внешн.}$.
$\angle B_{внешн.} + \angle B = 180^\circ$

Отсюда выразим величину внешнего угла:
$\angle B_{внешн.} = 180^\circ - \angle B$

Сравнивая полученные выражения для угла $\angle BOC$ и для внешнего угла при вершине $B$, мы видим, что они равны:
$\angle BOC = 180^\circ - \angle B$
$\angle B_{внешн.} = 180^\circ - \angle B$
Следовательно, $\angle BOC = \angle B_{внешн.}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что величина угла $BOC$ и величина внешнего угла треугольника при вершине $B$ выражаются одной и той же формулой ($180^\circ$ минус величина угла $B$), следовательно, они равны.