Номер 20, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Вопросы для повторения к главе 4 - номер 20, страница 88.

Условие.

20 Докажите, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для доказательства утверждения необходимо рассмотреть две части: прямую и обратную теоремы. Обозначим данную прямую как $a$, а заданное расстояние как $h$. Искомое множество точек, находящихся на расстоянии $h$ от прямой $a$ и по одну сторону от нее, назовем множеством $M$.

1. Докажем, что любая точка из множества $M$ принадлежит некоторой прямой, параллельной $a$.

Возьмем на прямой $a$ произвольную точку $A$ и проведем через нее перпендикуляр к прямой $a$. На этом перпендикуляре, по заданную сторону от $a$, отложим отрезок $AB$ длиной $h$. Таким образом, точка $B$ находится на расстоянии $h$ от прямой $a$ ($AB=h$ и $AB \perp a$), а значит, $B \in M$.

Проведем через точку $B$ прямую $b$, параллельную прямой $a$. Теперь докажем, что любая точка $P \in M$ лежит на этой прямой $b$.

Пусть $P$ — произвольная точка из множества $M$. По определению, расстояние от $P$ до прямой $a$ равно $h$. Это расстояние измеряется по перпендикуляру, опущенному из точки $P$ на прямую $a$. Пусть $C$ — основание этого перпендикуляра. Тогда $PC = h$ и $PC \perp a$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCP$. В нем стороны $AB$ и $PC$ обе перпендикулярны прямой $a$, следовательно, они параллельны друг другу: $AB \parallel PC$. Кроме того, их длины равны: $AB = PC = h$.

Поскольку в четырехугольнике $ABCP$ две противоположные стороны ($AB$ и $PC$) равны и параллельны, этот четырехугольник является параллелограммом. Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны $AP$ и $BC$ также параллельны, а главное, сторона $BP$ лежит на прямой, параллельной стороне $AC$, которая, в свою очередь, лежит на прямой $a$. Таким образом, прямая, проходящая через точки $B$ и $P$, параллельна прямой $a$.

Но через точку $B$ можно провести только одну прямую, параллельную $a$. Это и есть построенная нами прямая $b$. Следовательно, точка $P$ принадлежит прямой $b$. Так как $P$ была выбрана произвольно из множества $M$, то все точки этого множества лежат на прямой $b$.

2. Докажем, что любая точка прямой $b$ принадлежит множеству $M$.

Теперь возьмем произвольную точку $Q$ на прямой $b$. Нам нужно показать, что расстояние от точки $Q$ до прямой $a$ равно $h$ и что $Q$ лежит на заданной стороне от $a$.

Поскольку прямая $b$ была построена через точку $B$ и параллельна $a$, все точки прямой $b$ лежат в той же полуплоскости относительно прямой $a$, что и точка $B$. Это удовлетворяет второму условию.

Расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$ постоянно. Мы знаем, что расстояние от точки $B \in b$ до прямой $a$ равно длине перпендикуляра $AB$, то есть $h$. Следовательно, расстояние от любой точки прямой $b$ до прямой $a$ также равно $h$.

Таким образом, для любой точки $Q$ на прямой $b$ расстояние до прямой $a$ равно $h$, и она находится на нужной стороне. Это означает, что любая точка прямой $b$ принадлежит множеству $M$.

Из двух доказанных частей следует, что множество $M$ в точности совпадает с множеством точек прямой $b$. Это доказывает, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

Ответ: Утверждение доказано. Искомое множество точек действительно является прямой, параллельной данной.