Номер 23, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Вопросы для повторения к главе 4 - номер 23, страница 89.

Условие.

23 Объясните, как построить треугольник по трём сторонам. Всегда ли эта задача имеет решение?

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Объясните, как построить треугольник по трём сторонам.

Для построения треугольника по трём заданным сторонам с длинами $a$, $b$ и $c$ с помощью циркуля и линейки (без делений) необходимо выполнить следующие шаги:

1. На произвольной прямой выбрать точку $A$.
2. С помощью циркуля измерить длину одной из сторон, например, $c$. Поставить иглу циркуля в точку $A$ и провести дугу, которая пересечет прямую в точке $B$. Отрезок $AB$ будет первой стороной треугольника, равной $c$.
3. Измерить циркулем длину второй стороны, $b$. Поставить иглу циркуля в точку $A$ и провести дугу окружности радиусом $b$.
4. Измерить циркулем длину третьей стороны, $a$. Поставить иглу циркуля в точку $B$ и провести дугу окружности радиусом $a$.
5. Точка пересечения двух дуг (построенных в шагах 3 и 4) является третьей вершиной треугольника. Обозначим её $C$. Примечание: дуги пересекаются в двух точках, симметричных относительно прямой $AB$. Можно выбрать любую из них.
6. С помощью линейки соединить точку $C$ с точками $A$ и $B$.

Треугольник $ABC$ построен. Его стороны равны заданным длинам: $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$.

Ответ: Треугольник строится путем последовательного откладывания одной стороны на прямой и последующего нахождения третьей вершины как точки пересечения двух окружностей, построенных из концов отложенного отрезка с радиусами, равными длинам двух других сторон.

Всегда ли эта задача имеет решение?

Нет, эта задача имеет решение не всегда. Для того чтобы из трёх отрезков с длинами $a$, $b$ и $c$ можно было построить треугольник, должно выполняться неравенство треугольника.

Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны. Это можно записать в виде системы из трёх неравенств:

$a + b > c$

$a + c > b$

$b + c > a$

На практике для проверки достаточно убедиться, что сумма длин двух самых коротких сторон больше длины самой длинной стороны. Если это условие не выполняется, то окружности, которые мы строили для нахождения третьей вершины, не пересекутся, и построить треугольник будет невозможно. Если сумма двух сторон равна третьей (например, $a+b=c$), то все три вершины будут лежать на одной прямой, и мы получим так называемый вырожденный треугольник (отрезок).

Например, из отрезков длиной 2 см, 3 см и 6 см построить треугольник нельзя, так как $2 + 3 = 5$, а $5 < 6$.

Ответ: Нет, задача имеет решение только в том случае, если для заданных длин сторон выполняется неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.