Номер 305, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 305, страница 89.

305 На стороне AD треугольника ADC отмечена точка В так, что BC = BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC.

Рассмотрим треугольник $BCD$. По условию задачи, стороны $BC$ и $BD$ равны ($BC = BD$). Это означает, что треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $CD$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle BCD = \angle BDC$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $BCD$ это записывается так:

$\angle CBD + \angle BCD + \angle BDC = 180^\circ$

Поскольку $\angle BCD = \angle BDC$, мы можем переписать уравнение:

$\angle CBD + 2 \cdot \angle BCD = 180^\circ$

Выразим отсюда угол $\angle BCD$:

$2 \cdot \angle BCD = 180^\circ - \angle CBD$

$\angle BCD = \frac{180^\circ - \angle CBD}{2}$

Точки $A$, $B$, $D$ лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle ABC$ и $\angle CBD$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$:

$\angle ABC + \angle CBD = 180^\circ$

Из этого равенства выразим угол $\angle CBD$:

$\angle CBD = 180^\circ - \angle ABC$

Теперь подставим это выражение в формулу для угла $\angle BCD$:

$\angle BCD = \frac{180^\circ - (180^\circ - \angle ABC)}{2} = \frac{180^\circ - 180^\circ + \angle ABC}{2} = \frac{\angle ABC}{2}$

Пусть $BE$ — биссектриса угла $\angle ABC$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла:

$\angle EBC = \frac{\angle ABC}{2}$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что:

$\angle BCD = \angle EBC$

Углы $\angle BCD$ и $\angle EBC$ являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых $DC$ и $BE$ секущей $BC$.

Согласно признаку параллельности прямых, если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $DC \parallel BE$.

Таким образом, доказано, что прямая $DC$ параллельна биссектрисе угла $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $DC$ параллельна биссектрисе угла $ABC$.