Номер 312, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Дополнительные задачи - номер 312, страница 89.

Условие.

312* Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника ABC, то МВ + МС < AB + АС.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Дано:
Дан треугольник $ABC$.
Точка $M$ лежит внутри треугольника $ABC$.

Доказать:
$MB + MC < AB + AC$.

Доказательство:

1. Проведём луч из вершины $B$ через точку $M$ до пересечения со стороной $AC$ в точке $D$. Поскольку точка $M$ лежит внутри треугольника, точка $D$ будет лежать на отрезке $AC$ (то есть между точками $A$ и $C$).

2. Рассмотрим треугольник $ABD$. Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух любых сторон больше длины третьей стороны. Применительно к нашему случаю: $AB + AD > BD$.

По построению, точка $M$ лежит на отрезке $BD$, поэтому длина отрезка $BD$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $MD$: $BD = BM + MD$. Подставим это выражение в неравенство:
$AB + AD > BM + MD$ (1)

3. Теперь рассмотрим треугольник $MDC$. Снова применим к нему неравенство треугольника:
$MD + DC > MC$ (2)

4. Сложим почленно левые и правые части неравенств (1) и (2). Так как оба неравенства имеют одинаковый знак ($>$), их можно складывать:
$(AB + AD) + (MD + DC) > (BM + MD) + MC$

5. Упростим полученное неравенство. Мы можем вычесть $MD$ из обеих частей, так как это общий член:
$AB + AD + DC > BM + MC$

6. Так как точка $D$ лежит на стороне $AC$, то сумма отрезков $AD$ и $DC$ равна длине стороны $AC$: $AD + DC = AC$. Заменим эту сумму в левой части нашего неравенства:
$AB + AC > BM + MC$

Таким образом, мы доказали исходное утверждение: $MB + MC < AB + AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.