Номер 316, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 316, страница 90.

316 В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Проведем из вершины прямого угла $C$ высоту $CD$ на гипотенузу $AB$. По определению высоты, $CD \perp AB$, следовательно, углы $\angle CDA$ и $\angle CDB$ являются прямыми, то есть $\angle CDA = 90^\circ$ и $\angle CDB = 90^\circ$. Высота $CD$ делит исходный треугольник на два новых прямоугольных треугольника: $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$.

Обозначим один из острых углов исходного треугольника $\triangle ABC$, например $\angle A$, как $\alpha$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, второй острый угол, $\angle B$, будет равен $180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha$. Таким образом, углы треугольника $\triangle ABC$ равны $\alpha$, $90^\circ - \alpha$ и $90^\circ$.

Теперь рассмотрим первый образовавшийся треугольник, $\triangle ACD$. Он прямоугольный ($\angle CDA = 90^\circ$). Один из его углов, $\angle CAD$, является общим с треугольником $\triangle ABC$, поэтому $\angle CAD = \angle A = \alpha$. Третий угол, $\angle ACD$, находим из суммы углов треугольника: $\angle ACD = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha$. Следовательно, углы треугольника $\triangle ACD$ также равны $\alpha$, $90^\circ - \alpha$ и $90^\circ$.

Далее рассмотрим второй образовавшийся треугольник, $\triangle CBD$. Он также прямоугольный ($\angle CDB = 90^\circ$). Один из его углов, $\angle CBD$, является общим с треугольником $\triangle ABC$, поэтому $\angle CBD = \angle B = 90^\circ - \alpha$. Третий угол, $\angle BCD$, находим из суммы углов треугольника: $\angle BCD = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. Следовательно, углы треугольника $\triangle CBD$ тоже равны $\alpha$, $90^\circ - \alpha$ и $90^\circ$.

Таким образом, мы установили, что все три треугольника — исходный $\triangle ABC$ и образовавшиеся $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$ — имеют одинаковый набор углов. Это доказывает, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Углы исходного прямоугольного треугольника и двух треугольников, на которые его делит высота из прямого угла, соответственно равны. Каждый из этих трех треугольников имеет одинаковый набор углов.