Номер 320, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 320, страница 90.

320 В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AR. Докажите, что периметр треугольника ARC меньше периметра треугольника ABC.

Дано:

$\triangle ABC$ — остроугольный треугольник.

$AR$ — высота, проведенная к стороне $BC$, то есть $AR \perp BC$.

Доказать:

Периметр $\triangle ARC$ меньше периметра $\triangle ABC$.

Доказательство:

1. Запишем формулы для периметров обоих треугольников:

Периметр треугольника $ABC$: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Периметр треугольника $ARC$: $P_{ARC} = AR + RC + AC$.

2. Нам необходимо доказать неравенство $P_{ARC} < P_{ABC}$, что эквивалентно:

$AR + RC + AC < AB + BC + AC$

Вычтем из обеих частей неравенства общую сторону $AC$. Получим неравенство, которое нам предстоит доказать:

$AR + RC < AB + BC$

3. Рассмотрим треугольник $ABR$. Так как $AR$ — высота, то $\angle ARB = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABR$ является прямоугольным треугольником.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. В $\triangle ABR$ сторона $AB$ является гипотенузой (так как лежит напротив прямого угла), а $AR$ — катетом. Таким образом, справедливо неравенство:

$AR < AB$

4. Поскольку $\triangle ABC$ — остроугольный, основание высоты $R$ лежит на отрезке $BC$. Это означает, что точка $R$ находится между точками $B$ и $C$. Тогда длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BR$ и $RC$:

$BC = BR + RC$

Так как $BR$ — это длина стороны треугольника $ABR$, то $BR > 0$. Следовательно:

$RC < BR + RC$, что означает $RC < BC$.

5. Теперь у нас есть два верных неравенства:

1) $AR < AB$

2) $RC < BC$

Сложим эти два неравенства почленно. Если мы складываем меньшие части и большие части двух верных неравенств одного знака, то получаем верное неравенство того же знака:

$AR + RC < AB + BC$

Это и есть то неравенство, которое мы хотели доказать в шаге 2.

Таким образом, мы доказали, что сумма сторон $AR$ и $RC$ меньше суммы сторон $AB$ и $BC$. Если мы добавим к обеим частям этого неравенства длину общей стороны $AC$, то получим:

$AR + RC + AC < AB + BC + AC$

то есть $P_{ARC} < P_{ABC}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Периметр треугольника $ARC$ действительно меньше периметра треугольника $ABC$, так как катет $AR$ меньше гипотенузы $AB$ в прямоугольном треугольнике $ABR$, а отрезок $RC$ является лишь частью стороны $BC$.