Номер 313, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 313, страница 89.

313 Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$ и произвольная точка $M$, лежащая внутри него. Обозначим длины сторон как $AB$, $BC$, $CA$, а расстояния от точки $M$ до вершин как $MA$, $MB$, $MC$. Периметр треугольника $P = AB + BC + CA$. Требуется доказать, что сумма расстояний от точки $M$ до вершин треугольника меньше его периметра, то есть:

$MA + MB + MC < AB + BC + CA$

Для доказательства воспользуемся свойством неравенства треугольника. Продолжим один из отрезков, например $BM$, до пересечения со стороной $AC$ в точке $K$. Так как точка $M$ лежит внутри треугольника, точка $K$ будет лежать на стороне $AC$, а точка $M$ — на отрезке $BK$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. По неравенству треугольника, сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны:

$AB + AK > BK$

Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $BK$, мы можем записать $BK = BM + MK$. Подставим это в неравенство:

$AB + AK > BM + MK$ (1)

Теперь рассмотрим треугольник $CMK$. Для него также справедливо неравенство треугольника:

$KC + MK > MC$ (2)

Сложим полученные неравенства (1) и (2):

$(AB + AK) + (KC + MK) > (BM + MK) + MC$

Упростим выражение, вычтя $MK$ из обеих частей:

$AB + AK + KC > BM + MC$

Так как точка $K$ лежит на стороне $AC$, то $AK + KC = AC$. Заменив сумму в левой части, получаем:

$AB + AC > MB + MC$

Мы доказали, что сумма двух сторон треугольника, выходящих из одной вершины ($A$), больше суммы расстояний от внутренней точки до двух других вершин ($B$ и $C$). Поступая аналогично (проводя прямые из вершин $A$ и $C$ через точку $M$), можно получить еще два неравенства:

$BC + AB > MC + MA$
$AC + BC > MA + MB$

Итак, мы имеем систему из трех неравенств:
1. $AB + AC > MB + MC$
2. $BC + AB > MC + MA$
3. $AC + BC > MA + MB$

Сложим эти три неравенства почленно:

$(AB + AC) + (BC + AB) + (AC + BC) > (MB + MC) + (MC + MA) + (MA + MB)$

Сгруппируем слагаемые в левой и правой частях:

$2AB + 2BC + 2AC > 2MA + 2MB + 2MC$

$2(AB + BC + AC) > 2(MA + MB + MC)$

Разделив обе части неравенства на 2, мы получаем искомое утверждение:

$AB + BC + AC > MA + MB + MC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.