Номер 313, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Дополнительные задачи - номер 313, страница 89.

Условие.

313 Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан треугольник $ABC$ и произвольная точка $M$, лежащая внутри него. Обозначим длины сторон как $AB$, $BC$, $CA$, а расстояния от точки $M$ до вершин как $MA$, $MB$, $MC$. Периметр треугольника $P = AB + BC + CA$. Требуется доказать, что сумма расстояний от точки $M$ до вершин треугольника меньше его периметра, то есть:

$MA + MB + MC < AB + BC + CA$

Для доказательства воспользуемся свойством неравенства треугольника. Продолжим один из отрезков, например $BM$, до пересечения со стороной $AC$ в точке $K$. Так как точка $M$ лежит внутри треугольника, точка $K$ будет лежать на стороне $AC$, а точка $M$ — на отрезке $BK$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. По неравенству треугольника, сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны:

$AB + AK > BK$

Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $BK$, мы можем записать $BK = BM + MK$. Подставим это в неравенство:

$AB + AK > BM + MK$ (1)

Теперь рассмотрим треугольник $CMK$. Для него также справедливо неравенство треугольника:

$KC + MK > MC$ (2)

Сложим полученные неравенства (1) и (2):

$(AB + AK) + (KC + MK) > (BM + MK) + MC$

Упростим выражение, вычтя $MK$ из обеих частей:

$AB + AK + KC > BM + MC$

Так как точка $K$ лежит на стороне $AC$, то $AK + KC = AC$. Заменив сумму в левой части, получаем:

$AB + AC > MB + MC$

Мы доказали, что сумма двух сторон треугольника, выходящих из одной вершины ($A$), больше суммы расстояний от внутренней точки до двух других вершин ($B$ и $C$). Поступая аналогично (проводя прямые из вершин $A$ и $C$ через точку $M$), можно получить еще два неравенства:

$BC + AB > MC + MA$
$AC + BC > MA + MB$

Итак, мы имеем систему из трех неравенств:
1. $AB + AC > MB + MC$
2. $BC + AB > MC + MA$
3. $AC + BC > MA + MB$

Сложим эти три неравенства почленно:

$(AB + AC) + (BC + AB) + (AC + BC) > (MB + MC) + (MC + MA) + (MA + MB)$

Сгруппируем слагаемые в левой и правой частях:

$2AB + 2BC + 2AC > 2MA + 2MB + 2MC$

$2(AB + BC + AC) > 2(MA + MB + MC)$

Разделив обе части неравенства на 2, мы получаем искомое утверждение:

$AB + BC + AC > MA + MB + MC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.