Номер 311, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 311, страница 89.

311* Докажите, что в треугольнике ABC медиана AM меньше полусуммы сторон AB и АС.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $BM = MC$. Нам необходимо доказать, что медиана $AM$ меньше полусуммы сторон $AB$ и $AC$, то есть $AM < \frac{AB + AC}{2}$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. На луче $AM$ отложим за точкой $M$ отрезок $MD$, равный по длине медиане $AM$. Таким образом, $AM = MD$. Соединим точку $D$ с вершиной $C$.

Рассмотрим образовавшийся четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По условию, $M$ — середина $BC$ ($BM = MC$), и по построению, $M$ — середина $AD$ ($AM = MD$). Поскольку диагонали этого четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник $ABDC$ является параллелограммом (по признаку параллелограмма).

В параллелограмме противолежащие стороны равны. Следовательно, сторона $CD$ четырехугольника $ABDC$ равна стороне $AB$ треугольника. То есть, $CD = AB$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. По неравенству треугольника, любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Для стороны $AD$ этого треугольника можно записать:
$AD < AC + CD$

Заменим в этом неравенстве отрезки $AD$ и $CD$ на равные им величины. Длина отрезка $AD$ по построению равна $AM + MD = AM + AM = 2 \cdot AM$. Длина стороны $CD$ равна $AB$.
Подставив эти значения, получаем:
$2 \cdot AM < AC + AB$

Наконец, разделив обе части неравенства на 2, мы получаем то, что и требовалось доказать:
$AM < \frac{AB + AC}{2}$

Ответ: Утверждение доказано. В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ всегда меньше полусуммы сторон $AB$ и $AC$, выходящих из той же вершины.