Номер 306, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 306, страница 89.

306 На рисунке 151 AD || BE, AC=AD и ВС=BE. Докажите, что угол DСЕ — прямой.

Рассмотрим треугольник $ADC$. По условию задачи $AC = AD$, следовательно, этот треугольник является равнобедренным с основанием $DC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому угол при основании $\angle ADC$ можно выразить через угол при вершине $\angle DAC$ следующим образом: $\angle ADC = \frac{180^\circ - \angle DAC}{2}$.

Аналогично рассмотрим треугольник $BCE$. По условию $BC = BE$, следовательно, он также является равнобедренным с основанием $CE$. Угол при его основании $\angle BEC$ можно выразить через угол при вершине $\angle CBE$: $\angle BEC = \frac{180^\circ - \angle CBE}{2}$.

Проведем через точку $C$ вспомогательную прямую, параллельную $AD$. Так как по условию $AD \parallel BE$, эта прямая будет также параллельна $BE$. Исходя из рисунка, луч этой прямой пройдет между лучами $CD$ и $CE$. Таким образом, угол $\angle DCE$ будет равен сумме двух углов, образованных этой прямой с отрезками $CD$ и $CE$.

Эти углы являются внутренними накрест лежащими с углами $\angle ADC$ и $\angle BEC$ при параллельных прямых ($AD$ и $BE$) и секущих ($CD$ и $CE$). Следовательно, мы можем записать:$\angle DCE = \angle ADC + \angle BEC$.

Теперь подставим в это равенство выражения для углов $\angle ADC$ и $\angle BEC$, которые мы получили из свойств равнобедренных треугольников:$\angle DCE = \left(\frac{180^\circ - \angle DAC}{2}\right) + \left(\frac{180^\circ - \angle CBE}{2}\right)$$\angle DCE = (90^\circ - \frac{\angle DAC}{2}) + (90^\circ - \frac{\angle CBE}{2})$$\angle DCE = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle DAC + \angle CBE)$.

По условию задачи прямые $AD$ и $BE$ параллельны, а прямая $AB$ является для них секущей. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$. Для углов $\angle DAC$ и $\angle CBE$ это означает:$\angle DAC + \angle CBE = 180^\circ$.

Подставим полученное значение в формулу для угла $\angle DCE$:$\angle DCE = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.Таким образом, мы доказали, что угол $DCE$ является прямым.

Ответ: Угол $DCE$ равен $90^\circ$.