Номер 309, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 309, страница 89.

309 Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ₁ и АМ₂. Докажите, что:

а) если HM₁ = HM₂, то AM₁ = AM₂;

б) если HM₁ < HM₂, то AM₁ < АМ₂.

По условию задачи, из точки $A$ к прямой $a$ проведены перпендикуляр $AH$ и две наклонные $AM_1$ и $AM_2$. Точки $H$, $M_1$ и $M_2$ лежат на прямой $a$.

Так как $AH$ — перпендикуляр к прямой $a$, то $AH \perp a$. Это означает, что треугольники $ \triangle AHM_1 $ и $ \triangle AHM_2 $ являются прямоугольными, с прямыми углами при вершине $H$ ($ \angle AHM_1 = \angle AHM_2 = 90^\circ $). В обоих треугольниках $AH$ является катетом, отрезки $HM_1$ и $HM_2$ — проекциями наклонных на прямую $a$ — также являются катетами, а наклонные $AM_1$ и $AM_2$ — гипотенузами.

а) если $HM_1 = HM_2$, то $AM_1 = AM_2$

Для доказательства этого утверждения можно использовать признак равенства прямоугольных треугольников или теорему Пифагора.

Способ 1: По признаку равенства треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle AHM_1 $ и $ \triangle AHM_2 $. В них: катет $AH$ — общий, катет $HM_1$ равен катету $HM_2$ по условию ($HM_1 = HM_2$). Следовательно, $ \triangle AHM_1 = \triangle AHM_2 $ по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в частности, гипотенуз: $AM_1 = AM_2$.

Способ 2: По теореме Пифагора.

Для прямоугольного треугольника $ \triangle AHM_1 $ по теореме Пифагора имеем: $AM_1^2 = AH^2 + HM_1^2$.

Для прямоугольного треугольника $ \triangle AHM_2 $ по теореме Пифагора имеем: $AM_2^2 = AH^2 + HM_2^2$.

Так как по условию $HM_1 = HM_2$, то и $HM_1^2 = HM_2^2$. Правые части уравнений равны, следовательно, равны и левые: $AM_1^2 = AM_2^2$. Поскольку длины отрезков — величины положительные, из равенства их квадратов следует равенство и самих длин: $AM_1 = AM_2$.

Ответ: Утверждение доказано. Если проекции наклонных равны, то равны и сами наклонные.

б) если $HM_1 < HM_2$, то $AM_1 < AM_2$

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Пифагора. Как и в предыдущем пункте, запишем выражения для квадратов длин гипотенуз (наклонных):

$AM_1^2 = AH^2 + HM_1^2$

$AM_2^2 = AH^2 + HM_2^2$

Сравним правые части этих равенств. По условию дано неравенство $HM_1 < HM_2$. Так как длины отрезков — положительные числа, то при возведении в квадрат знак неравенства сохранится: $HM_1^2 < HM_2^2$.

Прибавим к обеим частям этого неравенства одну и ту же положительную величину $AH^2$:

$AH^2 + HM_1^2 < AH^2 + HM_2^2$

Заменим выражения в левой и правой частях на соответствующие им квадраты гипотенуз:

$AM_1^2 < AM_2^2$

Поскольку длины наклонных $AM_1$ и $AM_2$ являются положительными числами, из неравенства для их квадратов следует такое же неравенство и для самих длин:

$AM_1 < AM_2$

Ответ: Утверждение доказано. Если проекция одной наклонной меньше проекции другой, то и сама первая наклонная меньше второй.