Номер 308, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 308, страница 89.

308 Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.

Рассмотрим тупоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $B$ является тупым, то есть $\angle B > 90^\circ$. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что два других угла, $\angle A$ и $\angle C$, являются острыми ($\angle A < 90^\circ$ и $\angle C < 90^\circ$).

Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника

Проведём высоту $BH$ из вершины тупого угла $B$ на прямую, содержащую противолежащую сторону $AC$. Точка $H$ является основанием этой высоты. По определению высоты, $BH$ перпендикулярна $AC$, то есть $\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые при этом образуются: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$.

В любом прямоугольном треугольнике углы, не являющиеся прямыми, — острые. Следовательно, в $\triangle ABH$ угол $\angle BAH$ (который является углом $\angle A$ исходного треугольника) должен быть острым. Аналогично, в $\triangle CBH$ угол $\angle BCH$ (который является углом $\angle C$ исходного треугольника) должен быть острым. Это соответствует тому, что углы $A$ и $C$ в тупоугольном треугольнике $ABC$ острые.

Докажем от противного. Предположим, что основание высоты $H$ не лежит на отрезке $AC$, а лежит на его продолжении.

1. Пусть точка $H$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точкой $C$. Тогда угол $\angle BCH$ является внешним углом для $\triangle ABC$ при вершине $C$. Его величина равна $180^\circ - \angle BCA$. Поскольку $\angle BCA$ — острый, то $\angle BCH$ будет тупым. Но в прямоугольном треугольнике $BCH$ угол $\angle BCH$ должен быть острым. Мы пришли к противоречию.
2. Пусть точка $H$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точкой $A$. Тогда угол $\angle BAH$ является внешним углом для $\triangle ABC$ при вершине $A$. Его величина равна $180^\circ - \angle BAC$. Поскольку $\angle BAC$ — острый, то $\angle BAH$ будет тупым. Но в прямоугольном треугольнике $BAH$ угол $\angle BAH$ должен быть острым. Мы снова пришли к противоречию.

Таким образом, единственно возможным является случай, когда точка $H$ лежит между точками $A$ и $C$, то есть на стороне $AC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон

Рассмотрим высоту, проведённую из вершины острого угла $A$ на прямую, содержащую противолежащую сторону $BC$. Обозначим эту высоту $AD$, где $D$ — её основание. По определению, $AD \perp BC$, следовательно, $\triangle ADB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ADB$ угол $\angle ABD$ должен быть острым.

Докажем от противного. Предположим, что основание $D$ лежит на стороне $BC$. В этом случае угол $\angle ABD$ совпадает с углом $\angle ABC$ исходного треугольника. Но по условию $\angle ABC$ — тупой. Это противоречит тому, что угол $\angle ABD$ в прямоугольном треугольнике должен быть острым. Следовательно, точка $D$ не может лежать на отрезке $BC$.

Значит, точка $D$ лежит на продолжении отрезка $BC$. Если бы точка $D$ лежала на продолжении за точкой $C$, то угол $\angle ABD$ всё равно совпадал бы с тупым углом $\angle ABC$, что невозможно. Единственный оставшийся вариант — точка $D$ лежит на продолжении стороны $BC$ за вершину $B$. В этом случае углы $\angle ABD$ и $\angle ABC$ являются смежными, и $\angle ABD = 180^\circ - \angle ABC$. Так как $\angle ABC$ — тупой ($\angle ABC > 90^\circ$), то $\angle ABD$ будет острым ($\angle ABD < 90^\circ$), что не противоречит свойствам прямоугольного треугольника.

Таким образом, основание высоты, проведённой из вершины острого угла $A$, лежит на продолжении стороны $BC$.

Аналогичные рассуждения справедливы и для высоты $CE$, проведённой из другой острой вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$. В прямоугольном треугольнике $CBE$ угол $\angle CBE$ должен быть острым. Это возможно только в том случае, если точка $E$ лежит на продолжении стороны $AB$ за вершину $A$, так как в этом случае $\angle CBE = 180^\circ - \angle ABC$ (острый угол).

Ответ: Что и требовалось доказать.