Страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

22 Объясните, как построить треугольник по: а) двум сторонам и углу между ними; б) стороне и двум прилежащим к ней углам.

а) Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Пусть даны два отрезка с длинами $a$ и $b$, и угол $\gamma$, который должен быть между ними. Чтобы построить треугольник, соответствующий этим данным (например, $\triangle ABC$ со сторонами $AC=b$, $BC=a$ и углом $\angle C = \gamma$), нужно выполнить следующие действия:
1. Начертить произвольную прямую и выбрать на ней точку, которая будет одной из вершин треугольника. Обозначим ее $C$.
2. От точки $C$ на прямой отложить отрезок $CA$, длина которого равна $b$.
3. От луча $CA$ построить угол, равный данному углу $\gamma$. Для этого строим луч $CM$ так, чтобы $\angle ACM = \gamma$.
4. На луче $CM$ отложить от точки $C$ отрезок $CB$, длина которого равна $a$.
5. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком.
Полученный треугольник $ABC$ является искомым, поскольку по построению две его стороны ($AC$ и $BC$) и угол между ними ($\angle C$) равны заданным элементам.
Ответ: Треугольник построен.

б) Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Пусть дан отрезок с длиной $c$ и два угла $\alpha$ и $\beta$, прилежащие к этой стороне. Чтобы построить треугольник, соответствующий этим данным (например, $\triangle ABC$ со стороной $AB=c$, и углами $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$), нужно выполнить следующие действия:
1. Начертить произвольную прямую и отложить на ней отрезок $AB$, равный по длине данному отрезку $c$.
2. От луча $AB$ построить угол $\angle BAM$, равный данному углу $\alpha$.
3. От луча $BA$ построить угол $\angle ABK$, равный данному углу $\beta$. Лучи $AM$ и $BK$ должны быть построены в одной и той же полуплоскости относительно прямой $AB$.
4. Найти точку пересечения лучей $AM$ и $BK$. Обозначить эту точку буквой $C$. Такое пересечение возможно, если сумма данных углов меньше 180 градусов ($\alpha + \beta < 180^\circ$).
Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению его сторона $AB$ и два прилежащих к ней угла $\angle CAB$ и $\angle CBA$ равны заданным элементам.
Ответ: Треугольник построен.

23 Объясните, как построить треугольник по трём сторонам. Всегда ли эта задача имеет решение?

Объясните, как построить треугольник по трём сторонам.

Для построения треугольника по трём заданным сторонам с длинами $a$, $b$ и $c$ с помощью циркуля и линейки (без делений) необходимо выполнить следующие шаги:

1. На произвольной прямой выбрать точку $A$.
2. С помощью циркуля измерить длину одной из сторон, например, $c$. Поставить иглу циркуля в точку $A$ и провести дугу, которая пересечет прямую в точке $B$. Отрезок $AB$ будет первой стороной треугольника, равной $c$.
3. Измерить циркулем длину второй стороны, $b$. Поставить иглу циркуля в точку $A$ и провести дугу окружности радиусом $b$.
4. Измерить циркулем длину третьей стороны, $a$. Поставить иглу циркуля в точку $B$ и провести дугу окружности радиусом $a$.
5. Точка пересечения двух дуг (построенных в шагах 3 и 4) является третьей вершиной треугольника. Обозначим её $C$. Примечание: дуги пересекаются в двух точках, симметричных относительно прямой $AB$. Можно выбрать любую из них.
6. С помощью линейки соединить точку $C$ с точками $A$ и $B$.

Треугольник $ABC$ построен. Его стороны равны заданным длинам: $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$.

Ответ: Треугольник строится путем последовательного откладывания одной стороны на прямой и последующего нахождения третьей вершины как точки пересечения двух окружностей, построенных из концов отложенного отрезка с радиусами, равными длинам двух других сторон.

Всегда ли эта задача имеет решение?

Нет, эта задача имеет решение не всегда. Для того чтобы из трёх отрезков с длинами $a$, $b$ и $c$ можно было построить треугольник, должно выполняться неравенство треугольника.

Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны. Это можно записать в виде системы из трёх неравенств:

$a + b > c$

$a + c > b$

$b + c > a$

На практике для проверки достаточно убедиться, что сумма длин двух самых коротких сторон больше длины самой длинной стороны. Если это условие не выполняется, то окружности, которые мы строили для нахождения третьей вершины, не пересекутся, и построить треугольник будет невозможно. Если сумма двух сторон равна третьей (например, $a+b=c$), то все три вершины будут лежать на одной прямой, и мы получим так называемый вырожденный треугольник (отрезок).

Например, из отрезков длиной 2 см, 3 см и 6 см построить треугольник нельзя, так как $2 + 3 = 5$, а $5 < 6$.

Ответ: Нет, задача имеет решение только в том случае, если для заданных длин сторон выполняется неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

304 В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов В и С пересекаются в точке О. Докажите, что угол ВОС равен внешнему углу треугольника при вершине В.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором по условию углы при основании $BC$ равны: $\angle ABC = \angle ACB$. Будем обозначать эти углы как $\angle B$ и $\angle C$.

По условию, $BO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $B$ и $C$ соответственно, и они пересекаются в точке $O$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, следовательно:
$\angle OBC = \frac{1}{2} \angle B$
$\angle OCB = \frac{1}{2} \angle C$

Рассмотрим треугольник $BOC$. Сумма его внутренних углов равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать:
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$

Подставим в это равенство выражения для углов $\angle OBC$ и $\angle OCB$:
$\angle BOC + \frac{1}{2} \angle B + \frac{1}{2} \angle C = 180^\circ$

Так как по условию треугольник $ABC$ является равнобедренным с равными углами $B$ и $C$, мы можем заменить $\angle C$ на $\angle B$:
$\angle BOC + \frac{1}{2} \angle B + \frac{1}{2} \angle B = 180^\circ$
$\angle BOC + \angle B = 180^\circ$

Из этого уравнения выразим искомую величину угла $\angle BOC$:
$\angle BOC = 180^\circ - \angle B$

Теперь найдем величину внешнего угла треугольника $ABC$ при вершине $B$. Внешний угол треугольника при данной вершине является смежным с внутренним углом при этой же вершине. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$. Обозначим внешний угол при вершине $B$ как $\angle B_{внешн.}$.
$\angle B_{внешн.} + \angle B = 180^\circ$

Отсюда выразим величину внешнего угла:
$\angle B_{внешн.} = 180^\circ - \angle B$

Сравнивая полученные выражения для угла $\angle BOC$ и для внешнего угла при вершине $B$, мы видим, что они равны:
$\angle BOC = 180^\circ - \angle B$
$\angle B_{внешн.} = 180^\circ - \angle B$
Следовательно, $\angle BOC = \angle B_{внешн.}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что величина угла $BOC$ и величина внешнего угла треугольника при вершине $B$ выражаются одной и той же формулой ($180^\circ$ минус величина угла $B$), следовательно, они равны.

305 На стороне AD треугольника ADC отмечена точка В так, что BC = BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC.

Рассмотрим треугольник $BCD$. По условию задачи, стороны $BC$ и $BD$ равны ($BC = BD$). Это означает, что треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $CD$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle BCD = \angle BDC$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $BCD$ это записывается так:

$\angle CBD + \angle BCD + \angle BDC = 180^\circ$

Поскольку $\angle BCD = \angle BDC$, мы можем переписать уравнение:

$\angle CBD + 2 \cdot \angle BCD = 180^\circ$

Выразим отсюда угол $\angle BCD$:

$2 \cdot \angle BCD = 180^\circ - \angle CBD$

$\angle BCD = \frac{180^\circ - \angle CBD}{2}$

Точки $A$, $B$, $D$ лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle ABC$ и $\angle CBD$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$:

$\angle ABC + \angle CBD = 180^\circ$

Из этого равенства выразим угол $\angle CBD$:

$\angle CBD = 180^\circ - \angle ABC$

Теперь подставим это выражение в формулу для угла $\angle BCD$:

$\angle BCD = \frac{180^\circ - (180^\circ - \angle ABC)}{2} = \frac{180^\circ - 180^\circ + \angle ABC}{2} = \frac{\angle ABC}{2}$

Пусть $BE$ — биссектриса угла $\angle ABC$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла:

$\angle EBC = \frac{\angle ABC}{2}$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что:

$\angle BCD = \angle EBC$

Углы $\angle BCD$ и $\angle EBC$ являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых $DC$ и $BE$ секущей $BC$.

Согласно признаку параллельности прямых, если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $DC \parallel BE$.

Таким образом, доказано, что прямая $DC$ параллельна биссектрисе угла $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $DC$ параллельна биссектрисе угла $ABC$.

306 На рисунке 151 AD || BE, AC=AD и ВС=BE. Докажите, что угол DСЕ — прямой.

Рассмотрим треугольник $ADC$. По условию задачи $AC = AD$, следовательно, этот треугольник является равнобедренным с основанием $DC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому угол при основании $\angle ADC$ можно выразить через угол при вершине $\angle DAC$ следующим образом: $\angle ADC = \frac{180^\circ - \angle DAC}{2}$.

Аналогично рассмотрим треугольник $BCE$. По условию $BC = BE$, следовательно, он также является равнобедренным с основанием $CE$. Угол при его основании $\angle BEC$ можно выразить через угол при вершине $\angle CBE$: $\angle BEC = \frac{180^\circ - \angle CBE}{2}$.

Проведем через точку $C$ вспомогательную прямую, параллельную $AD$. Так как по условию $AD \parallel BE$, эта прямая будет также параллельна $BE$. Исходя из рисунка, луч этой прямой пройдет между лучами $CD$ и $CE$. Таким образом, угол $\angle DCE$ будет равен сумме двух углов, образованных этой прямой с отрезками $CD$ и $CE$.

Эти углы являются внутренними накрест лежащими с углами $\angle ADC$ и $\angle BEC$ при параллельных прямых ($AD$ и $BE$) и секущих ($CD$ и $CE$). Следовательно, мы можем записать:$\angle DCE = \angle ADC + \angle BEC$.

Теперь подставим в это равенство выражения для углов $\angle ADC$ и $\angle BEC$, которые мы получили из свойств равнобедренных треугольников:$\angle DCE = \left(\frac{180^\circ - \angle DAC}{2}\right) + \left(\frac{180^\circ - \angle CBE}{2}\right)$$\angle DCE = (90^\circ - \frac{\angle DAC}{2}) + (90^\circ - \frac{\angle CBE}{2})$$\angle DCE = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle DAC + \angle CBE)$.

По условию задачи прямые $AD$ и $BE$ параллельны, а прямая $AB$ является для них секущей. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$. Для углов $\angle DAC$ и $\angle CBE$ это означает:$\angle DAC + \angle CBE = 180^\circ$.

Подставим полученное значение в формулу для угла $\angle DCE$:$\angle DCE = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.Таким образом, мы доказали, что угол $DCE$ является прямым.

Ответ: Угол $DCE$ равен $90^\circ$.

307 На рисунке 152 AB=АС, AP=PQ=QR=RB=BC. Найдите угол А.

Решение:

В условии задачи указано, что точка $R$ находится на отрезке $BC$, и при этом длина отрезка $RB$ равна длине всего отрезка $BC$. Такое возможно только в одном случае: если точка $R$ совпадает с точкой $C$. При этом условии равенство $AP = PQ = QR = RB = BC$ преобразуется в $AP = PQ = QC = BC$. Будем решать задачу с этим условием.

Обозначим искомый угол $?A$ как $?$. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB = AC$), углы при его основании равны: $?B = ?C = \frac{180° - ?}{2}$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $APQ$, в котором по условию $AP = PQ$. Углы при основании $AQ$ равны, следовательно, $?PQA = ?PAQ = ?$.

Теперь рассмотрим треугольник $PQC$. В нем $PQ = QC$, значит, он тоже равнобедренный с основанием $PC$. Углы при основании $PC$ равны: $?QPC = ?QCP$. Угол $?QCP$ — это и есть угол $?C$ треугольника $ABC$, поэтому $?QPC = ?C = \frac{180° - ?}{2}$. Угол при вершине $Q$ в этом треугольнике, $?PQC$, равен $180° - 2 \cdot \frac{180° - ?}{2} = 180° - (180° - ?) = ?$.

Угол $?AQC$ на стороне $AC$ складывается из двух углов: $?PQA$ и $?PQC$. Таким образом, $?AQC = ?PQA + ?PQC = ? + ? = 2?$.

Далее рассмотрим треугольник $BQC$. По условию $BC = QC$, он является равнобедренным с основанием $BQ$. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Угол, противолежащий стороне $BC$, — это $?BQC$. Угол, противолежащий стороне $QC$, — это $?QBC$ (то есть $?B$). Следовательно, $?BQC = ?B$.

Мы получили два разных выражения для одного и того же угла $?BQC$:
1. Из геометрии точки $Q$ на стороне $AC$: $?BQC = 2?$.
2. Из свойств равнобедренного треугольника $BQC$: $?BQC = ?B = \frac{180° - ?}{2}$.

Приравняем эти два выражения и решим полученное уравнение:

$2? = \frac{180° - ?}{2}$

$4? = 180° - ?$

$5? = 180°$

$? = \frac{180°}{5}$

$? = 36°$

Ответ: $36°$.

308 Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.

Рассмотрим тупоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $B$ является тупым, то есть $\angle B > 90^\circ$. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что два других угла, $\angle A$ и $\angle C$, являются острыми ($\angle A < 90^\circ$ и $\angle C < 90^\circ$).

Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника

Проведём высоту $BH$ из вершины тупого угла $B$ на прямую, содержащую противолежащую сторону $AC$. Точка $H$ является основанием этой высоты. По определению высоты, $BH$ перпендикулярна $AC$, то есть $\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые при этом образуются: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$.

В любом прямоугольном треугольнике углы, не являющиеся прямыми, — острые. Следовательно, в $\triangle ABH$ угол $\angle BAH$ (который является углом $\angle A$ исходного треугольника) должен быть острым. Аналогично, в $\triangle CBH$ угол $\angle BCH$ (который является углом $\angle C$ исходного треугольника) должен быть острым. Это соответствует тому, что углы $A$ и $C$ в тупоугольном треугольнике $ABC$ острые.

Докажем от противного. Предположим, что основание высоты $H$ не лежит на отрезке $AC$, а лежит на его продолжении.

1. Пусть точка $H$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точкой $C$. Тогда угол $\angle BCH$ является внешним углом для $\triangle ABC$ при вершине $C$. Его величина равна $180^\circ - \angle BCA$. Поскольку $\angle BCA$ — острый, то $\angle BCH$ будет тупым. Но в прямоугольном треугольнике $BCH$ угол $\angle BCH$ должен быть острым. Мы пришли к противоречию.
2. Пусть точка $H$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точкой $A$. Тогда угол $\angle BAH$ является внешним углом для $\triangle ABC$ при вершине $A$. Его величина равна $180^\circ - \angle BAC$. Поскольку $\angle BAC$ — острый, то $\angle BAH$ будет тупым. Но в прямоугольном треугольнике $BAH$ угол $\angle BAH$ должен быть острым. Мы снова пришли к противоречию.

Таким образом, единственно возможным является случай, когда точка $H$ лежит между точками $A$ и $C$, то есть на стороне $AC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон

Рассмотрим высоту, проведённую из вершины острого угла $A$ на прямую, содержащую противолежащую сторону $BC$. Обозначим эту высоту $AD$, где $D$ — её основание. По определению, $AD \perp BC$, следовательно, $\triangle ADB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ADB$ угол $\angle ABD$ должен быть острым.

Докажем от противного. Предположим, что основание $D$ лежит на стороне $BC$. В этом случае угол $\angle ABD$ совпадает с углом $\angle ABC$ исходного треугольника. Но по условию $\angle ABC$ — тупой. Это противоречит тому, что угол $\angle ABD$ в прямоугольном треугольнике должен быть острым. Следовательно, точка $D$ не может лежать на отрезке $BC$.

Значит, точка $D$ лежит на продолжении отрезка $BC$. Если бы точка $D$ лежала на продолжении за точкой $C$, то угол $\angle ABD$ всё равно совпадал бы с тупым углом $\angle ABC$, что невозможно. Единственный оставшийся вариант — точка $D$ лежит на продолжении стороны $BC$ за вершину $B$. В этом случае углы $\angle ABD$ и $\angle ABC$ являются смежными, и $\angle ABD = 180^\circ - \angle ABC$. Так как $\angle ABC$ — тупой ($\angle ABC > 90^\circ$), то $\angle ABD$ будет острым ($\angle ABD < 90^\circ$), что не противоречит свойствам прямоугольного треугольника.

Таким образом, основание высоты, проведённой из вершины острого угла $A$, лежит на продолжении стороны $BC$.

Аналогичные рассуждения справедливы и для высоты $CE$, проведённой из другой острой вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$. В прямоугольном треугольнике $CBE$ угол $\angle CBE$ должен быть острым. Это возможно только в том случае, если точка $E$ лежит на продолжении стороны $AB$ за вершину $A$, так как в этом случае $\angle CBE = 180^\circ - \angle ABC$ (острый угол).

Ответ: Что и требовалось доказать.

309 Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ₁ и АМ₂. Докажите, что:

а) если HM₁ = HM₂, то AM₁ = AM₂;

б) если HM₁ < HM₂, то AM₁ < АМ₂.

По условию задачи, из точки $A$ к прямой $a$ проведены перпендикуляр $AH$ и две наклонные $AM_1$ и $AM_2$. Точки $H$, $M_1$ и $M_2$ лежат на прямой $a$.

Так как $AH$ — перпендикуляр к прямой $a$, то $AH \perp a$. Это означает, что треугольники $ \triangle AHM_1 $ и $ \triangle AHM_2 $ являются прямоугольными, с прямыми углами при вершине $H$ ($ \angle AHM_1 = \angle AHM_2 = 90^\circ $). В обоих треугольниках $AH$ является катетом, отрезки $HM_1$ и $HM_2$ — проекциями наклонных на прямую $a$ — также являются катетами, а наклонные $AM_1$ и $AM_2$ — гипотенузами.

а) если $HM_1 = HM_2$, то $AM_1 = AM_2$

Для доказательства этого утверждения можно использовать признак равенства прямоугольных треугольников или теорему Пифагора.

Способ 1: По признаку равенства треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle AHM_1 $ и $ \triangle AHM_2 $. В них: катет $AH$ — общий, катет $HM_1$ равен катету $HM_2$ по условию ($HM_1 = HM_2$). Следовательно, $ \triangle AHM_1 = \triangle AHM_2 $ по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в частности, гипотенуз: $AM_1 = AM_2$.

Способ 2: По теореме Пифагора.

Для прямоугольного треугольника $ \triangle AHM_1 $ по теореме Пифагора имеем: $AM_1^2 = AH^2 + HM_1^2$.

Для прямоугольного треугольника $ \triangle AHM_2 $ по теореме Пифагора имеем: $AM_2^2 = AH^2 + HM_2^2$.

Так как по условию $HM_1 = HM_2$, то и $HM_1^2 = HM_2^2$. Правые части уравнений равны, следовательно, равны и левые: $AM_1^2 = AM_2^2$. Поскольку длины отрезков — величины положительные, из равенства их квадратов следует равенство и самих длин: $AM_1 = AM_2$.

Ответ: Утверждение доказано. Если проекции наклонных равны, то равны и сами наклонные.

б) если $HM_1 < HM_2$, то $AM_1 < AM_2$

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Пифагора. Как и в предыдущем пункте, запишем выражения для квадратов длин гипотенуз (наклонных):

$AM_1^2 = AH^2 + HM_1^2$

$AM_2^2 = AH^2 + HM_2^2$

Сравним правые части этих равенств. По условию дано неравенство $HM_1 < HM_2$. Так как длины отрезков — положительные числа, то при возведении в квадрат знак неравенства сохранится: $HM_1^2 < HM_2^2$.

Прибавим к обеим частям этого неравенства одну и ту же положительную величину $AH^2$:

$AH^2 + HM_1^2 < AH^2 + HM_2^2$

Заменим выражения в левой и правой частях на соответствующие им квадраты гипотенуз:

$AM_1^2 < AM_2^2$

Поскольку длины наклонных $AM_1$ и $AM_2$ являются положительными числами, из неравенства для их квадратов следует такое же неравенство и для самих длин:

$AM_1 < AM_2$

Ответ: Утверждение доказано. Если проекция одной наклонной меньше проекции другой, то и сама первая наклонная меньше второй.

310 Из точки А к прямой a проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ₁ и АМ₂. Докажите, что:

а) если АМ₁ = АМ₂, то НМ₁ = НМ₂;

б) если АМ₁ < АМ₂, то HM₁ < HM₂.

По условию задачи, из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH и наклонные AM? и AM?. Это означает, что отрезок AH перпендикулярен прямой a, и, следовательно, треугольники $ \triangle AHM_1 $ и $ \triangle AHM_2 $ являются прямоугольными ($ \angle AHM_1 = \angle AHM_2 = 90^\circ $). Катет AH является общим для этих двух треугольников. Отрезки HM? и HM? — это проекции наклонных AM? и AM? на прямую a.

а) если $ AM_1=AM_2 $, то $ HM_1=HM_2 $

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle AHM_1 $ и $ \triangle AHM_2 $.

1. Катет AH — является общим для обоих треугольников.

2. Гипотенузы равны по условию: $ AM_1 = AM_2 $.

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle AHM_1 $ и $ \triangle AHM_2 $ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, катет $ HM_1 $ треугольника $ \triangle AHM_1 $ равен катету $ HM_2 $ треугольника $ \triangle AHM_2 $.

Таким образом, $ HM_1 = HM_2 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) если $ AM_1<AM_2 $, то $ HM_1<HM_2 $

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle AHM_1 $ и $ \triangle AHM_2 $. Для каждого из них применим теорему Пифагора, которая связывает катеты и гипотенузу:

$ AM_1^2 = AH^2 + HM_1^2 $

$ AM_2^2 = AH^2 + HM_2^2 $

Выразим из этих формул квадраты проекций $ HM_1 $ и $ HM_2 $:

$ HM_1^2 = AM_1^2 - AH^2 $

$ HM_2^2 = AM_2^2 - AH^2 $

По условию нам дано, что $ AM_1 < AM_2 $. Поскольку длины отрезков являются положительными величинами, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, и знак неравенства сохранится: $ AM_1^2 < AM_2^2 $.

Теперь сравним выражения для $ HM_1^2 $ и $ HM_2^2 $. Мы вычитаем одно и то же значение ($ AH^2 $) из обеих частей неравенства $ AM_1^2 < AM_2^2 $. Это не меняет знак неравенства:

$ AM_1^2 - AH^2 < AM_2^2 - AH^2 $

Отсюда следует, что $ HM_1^2 < HM_2^2 $.

Так как $ HM_1 $ и $ HM_2 $ — это длины отрезков, они являются положительными числами. Поэтому извлечение квадратного корня из обеих частей неравенства сохранит знак:

$ \sqrt{HM_1^2} < \sqrt{HM_2^2} $

Что равносильно $ HM_1 < HM_2 $.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

311* Докажите, что в треугольнике ABC медиана AM меньше полусуммы сторон AB и АС.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $BM = MC$. Нам необходимо доказать, что медиана $AM$ меньше полусуммы сторон $AB$ и $AC$, то есть $AM < \frac{AB + AC}{2}$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. На луче $AM$ отложим за точкой $M$ отрезок $MD$, равный по длине медиане $AM$. Таким образом, $AM = MD$. Соединим точку $D$ с вершиной $C$.

Рассмотрим образовавшийся четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По условию, $M$ — середина $BC$ ($BM = MC$), и по построению, $M$ — середина $AD$ ($AM = MD$). Поскольку диагонали этого четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник $ABDC$ является параллелограммом (по признаку параллелограмма).

В параллелограмме противолежащие стороны равны. Следовательно, сторона $CD$ четырехугольника $ABDC$ равна стороне $AB$ треугольника. То есть, $CD = AB$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. По неравенству треугольника, любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Для стороны $AD$ этого треугольника можно записать:
$AD < AC + CD$

Заменим в этом неравенстве отрезки $AD$ и $CD$ на равные им величины. Длина отрезка $AD$ по построению равна $AM + MD = AM + AM = 2 \cdot AM$. Длина стороны $CD$ равна $AB$.
Подставив эти значения, получаем:
$2 \cdot AM < AC + AB$

Наконец, разделив обе части неравенства на 2, мы получаем то, что и требовалось доказать:
$AM < \frac{AB + AC}{2}$

Ответ: Утверждение доказано. В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ всегда меньше полусуммы сторон $AB$ и $AC$, выходящих из той же вершины.

312* Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника ABC, то МВ + МС < AB + АС.

Дано:
Дан треугольник $ABC$.
Точка $M$ лежит внутри треугольника $ABC$.

Доказать:
$MB + MC < AB + AC$.

Доказательство:

1. Проведём луч из вершины $B$ через точку $M$ до пересечения со стороной $AC$ в точке $D$. Поскольку точка $M$ лежит внутри треугольника, точка $D$ будет лежать на отрезке $AC$ (то есть между точками $A$ и $C$).

2. Рассмотрим треугольник $ABD$. Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух любых сторон больше длины третьей стороны. Применительно к нашему случаю: $AB + AD > BD$.

По построению, точка $M$ лежит на отрезке $BD$, поэтому длина отрезка $BD$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $MD$: $BD = BM + MD$. Подставим это выражение в неравенство:
$AB + AD > BM + MD$ (1)

3. Теперь рассмотрим треугольник $MDC$. Снова применим к нему неравенство треугольника:
$MD + DC > MC$ (2)

4. Сложим почленно левые и правые части неравенств (1) и (2). Так как оба неравенства имеют одинаковый знак ($>$), их можно складывать:
$(AB + AD) + (MD + DC) > (BM + MD) + MC$

5. Упростим полученное неравенство. Мы можем вычесть $MD$ из обеих частей, так как это общий член:
$AB + AD + DC > BM + MC$

6. Так как точка $D$ лежит на стороне $AC$, то сумма отрезков $AD$ и $DC$ равна длине стороны $AC$: $AD + DC = AC$. Заменим эту сумму в левой части нашего неравенства:
$AB + AC > BM + MC$

Таким образом, мы доказали исходное утверждение: $MB + MC < AB + AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

313 Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$ и произвольная точка $M$, лежащая внутри него. Обозначим длины сторон как $AB$, $BC$, $CA$, а расстояния от точки $M$ до вершин как $MA$, $MB$, $MC$. Периметр треугольника $P = AB + BC + CA$. Требуется доказать, что сумма расстояний от точки $M$ до вершин треугольника меньше его периметра, то есть:

$MA + MB + MC < AB + BC + CA$

Для доказательства воспользуемся свойством неравенства треугольника. Продолжим один из отрезков, например $BM$, до пересечения со стороной $AC$ в точке $K$. Так как точка $M$ лежит внутри треугольника, точка $K$ будет лежать на стороне $AC$, а точка $M$ — на отрезке $BK$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. По неравенству треугольника, сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны:

$AB + AK > BK$

Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $BK$, мы можем записать $BK = BM + MK$. Подставим это в неравенство:

$AB + AK > BM + MK$ (1)

Теперь рассмотрим треугольник $CMK$. Для него также справедливо неравенство треугольника:

$KC + MK > MC$ (2)

Сложим полученные неравенства (1) и (2):

$(AB + AK) + (KC + MK) > (BM + MK) + MC$

Упростим выражение, вычтя $MK$ из обеих частей:

$AB + AK + KC > BM + MC$

Так как точка $K$ лежит на стороне $AC$, то $AK + KC = AC$. Заменив сумму в левой части, получаем:

$AB + AC > MB + MC$

Мы доказали, что сумма двух сторон треугольника, выходящих из одной вершины ($A$), больше суммы расстояний от внутренней точки до двух других вершин ($B$ и $C$). Поступая аналогично (проводя прямые из вершин $A$ и $C$ через точку $M$), можно получить еще два неравенства:

$BC + AB > MC + MA$
$AC + BC > MA + MB$

Итак, мы имеем систему из трех неравенств:
1. $AB + AC > MB + MC$
2. $BC + AB > MC + MA$
3. $AC + BC > MA + MB$

Сложим эти три неравенства почленно:

$(AB + AC) + (BC + AB) + (AC + BC) > (MB + MC) + (MC + MA) + (MA + MB)$

Сгруппируем слагаемые в левой и правой частях:

$2AB + 2BC + 2AC > 2MA + 2MB + 2MC$

$2(AB + BC + AC) > 2(MA + MB + MC)$

Разделив обе части неравенства на 2, мы получаем искомое утверждение:

$AB + BC + AC > MA + MB + MC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

314 Докажите методом от противного: если для трёх точек A, B и C справедливо равенство AB = AC + CB, то точки A, B и C лежат на одной прямой.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что утверждение неверно, то есть точки $A$, $B$ и $C$, для которых выполняется равенство $AB = AC + CB$, не лежат на одной прямой.

Если три точки не лежат на одной прямой, то они являются вершинами треугольника. В нашем случае это будет треугольник $ABC$, длины сторон которого равны длинам отрезков $AB$, $AC$ и $CB$.

Для любого существующего треугольника справедливо неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон всегда строго больше длины третьей стороны. Применим это правило к нашему предполагаемому треугольнику $ABC$ и его стороне $AB$. Неравенство будет выглядеть так:

$AC + CB > AB$

Теперь сравним полученный результат, следующий из нашего предположения, с исходным условием задачи, которое утверждает:

$AB = AC + CB$

Мы пришли к очевидному противоречию. Из нашего предположения следует, что сумма $AC + CB$ должна быть строго больше $AB$, в то время как из условия задачи эта же сумма равна $AB$. Выражение не может быть одновременно строго больше и равно другому выражению.

Возникшее противоречие означает, что наше первоначальное предположение было ложным. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ не могут образовывать треугольник, а значит, они лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.