Страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

292 Даны прямая a и отрезок AB. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми a и р было равно AB.

Решение

Отметим на прямой а какую-нибудь точку С и проведём через точку С прямую b, перпендикулярную к прямой а (рис. 148). Затем на одном из лучей прямой b, исходящих из точки С, отложим отрезок CD, равный отрезку AB. Через точку D проведём прямую р, перпендикулярную к прямой b. Прямая р — искомая (объясните почему).

Как видно из построения, для любой данной прямой a и любого данного отрезка AB искомую прямую можно построить, причём задача имеет два решения (прямые р и р₁ на рисунке 149).

Построение

Чтобы построить прямую $p$, которая параллельна данной прямой $a$ и расстояние до которой равно длине отрезка $AB$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. На прямой $a$ выбрать произвольную точку $C$.
2. С помощью циркуля и линейки построить прямую $b$, проходящую через точку $C$ и перпендикулярную прямой $a$ ($b \perp a$).
3. На прямой $b$ от точки $C$ отложить отрезок $CD$, длина которого равна длине отрезка $AB$.
4. Через точку $D$ построить прямую $p$, перпендикулярную прямой $b$ ($p \perp b$).

Прямая $p$ является искомой. Стоит отметить, что на шаге 3 отрезок $CD$ можно отложить от точки $C$ в любую из двух сторон вдоль прямой $b$. Это означает, что задача всегда имеет два решения: прямую $p$ с одной стороны от прямой $a$ и прямую $p_1$ — с другой (как показано на рисунке 149 в условии).

Ответ: Для построения искомой прямой нужно выбрать на прямой $a$ произвольную точку, провести через нее перпендикуляр, отложить на этом перпендикуляре отрезок, равный по длине отрезку $AB$, и через конец отложенного отрезка провести прямую, перпендикулярную построенному перпендикуляру.

Объяснение

Построенная прямая $p$ является искомой, так как она удовлетворяет всем условиям задачи. Докажем это.

1. Параллельность $p$ и $a$. По построению, и прямая $a$, и прямая $p$ перпендикулярны одной и той же прямой $b$. Согласно свойству параллельных прямых, если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой. Следовательно, $p \parallel a$.

2. Расстояние между $p$ и $a$. Расстоянием между двумя параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра. По построению, прямая $b$ перпендикулярна обеим прямым $a$ и $p$, значит, отрезок $CD$, лежащий на прямой $b$ и соединяющий прямые $a$ и $p$, является их общим перпендикуляром. Длина этого отрезка по построению равна длине отрезка $AB$. Следовательно, расстояние между прямыми $p$ и $a$ равно $AB$.

Оба условия задачи выполнены, что подтверждает правильность построения.

Ответ: Построенная прямая $p$ параллельна прямой $a$, так как обе они перпендикулярны одной и той же прямой $b$. Расстояние между $p$ и $a$ равно длине отрезка $CD$, который является их общим перпендикуляром и по построению равен отрезку $AB$.

293 Даны пересекающиеся прямые a и b и отрезок PQ. На прямой а постройте точку, удалённую от прямой b на расстояние PQ.

Для решения этой задачи воспользуемся методом геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка $X$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Принадлежать прямой $a$.
2. Находиться на расстоянии, равном длине отрезка $PQ$, от прямой $b$.

Геометрическим местом точек, равноудаленных от некоторой прямой на заданное расстояние, являются две параллельные прямые, расположенные по разные стороны от данной прямой.

Таким образом, искомые точки являются точками пересечения прямой $a$ с двумя прямыми, параллельными прямой $b$ и удаленными от нее на расстояние $|PQ|$.

Построение

1. Сначала построим геометрическое место точек, удаленных от прямой $b$ на расстояние, равное длине отрезка $PQ$.
   • Выберем на прямой $b$ произвольную точку $K$.
   • Через точку $K$ проведем прямую $k$, перпендикулярную прямой $b$ (для этого можно построить окружность с центром в $K$, найти две точки ее пересечения с прямой $b$, а затем построить серединный перпендикуляр к отрезку между этими точками).
   • С помощью циркуля измерим длину отрезка $PQ$.
   • На перпендикулярной прямой $k$ отложим от точки $K$ по обе стороны отрезки, равные по длине $PQ$. Получим точки $M_1$ и $M_2$ так, что $|KM_1| = |KM_2| = |PQ|$.
   • Через точку $M_1$ проведем прямую $c_1$, параллельную прямой $b$.
   • Через точку $M_2$ проведем прямую $c_2$, параллельную прямой $b$. (Чтобы построить прямую, параллельную данной, можно через точку провести перпендикуляр к перпендикуляру).
   Прямые $c_1$ и $c_2$ являются искомым ГМТ.
2. Прямая $a$ пересекается с построенными прямыми $c_1$ и $c_2$ в искомых точках. Обозначим их $X_1$ и $X_2$.
   • $X_1 = a \cap c_1$
   • $X_2 = a \cap c_2$

Доказательство: По построению, точки $X_1$ и $X_2$ лежат на прямой $a$. Расстояние от любой точки прямой $c_1$ до прямой $b$ равно $|KM_1| = |PQ|$. Поскольку $X_1 \in c_1$, расстояние от $X_1$ до прямой $b$ равно $|PQ|$. Аналогично, поскольку $X_2 \in c_2$, расстояние от $X_2$ до прямой $b$ равно $|PQ|$.

По условию, прямые $a$ и $b$ пересекаются, значит, они не параллельны. Так как $c_1 \parallel b$ и $c_2 \parallel b$, то прямая $a$ не параллельна ни прямой $c_1$, ни прямой $c_2$. Следовательно, прямая $a$ пересекает каждую из прямых $c_1$ и $c_2$ ровно в одной точке. Таким образом, задача всегда имеет два решения.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения прямой $a$ с двумя прямыми, которые параллельны прямой $b$ и находятся от нее на расстоянии, равном длине отрезка $PQ$. Таких точек две.

294 Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

Для решения задачи о построении треугольника по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла, проведем анализ, опишем алгоритм построения, докажем его корректность и исследуем условия, при которых задача имеет решение.

Пусть даны: отрезок длиной $b$ (сторона), угол $\alpha$ (прилежащий угол) и отрезок длиной $l_a$ (биссектриса, проведенная из вершины угла $\alpha$). Требуется построить треугольник $ABC$, в котором сторона $AC = b$, $\angle BAC = \alpha$, а длина биссектрисы $AL$ (где $L$ — точка на стороне $BC$) равна $l_a$.

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Мы знаем длину стороны $AC = b$ и величину угла $\angle BAC = \alpha$. Это позволяет нам построить угол $\alpha$ и отложить на одной из его сторон отрезок $AC$ длиной $b$. Вершина $A$ и вершина $C$ теперь зафиксированы, а третья вершина $B$ должна лежать на второй стороне угла.

Нам также дана длина биссектрисы $AL = l_a$. Биссектриса $AL$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle CAL = \angle LAB = \alpha/2$. Таким образом, мы можем построить луч $Am$, являющийся биссектрисой угла $\angle BAC$. Точка $L$ лежит на этом луче на расстоянии $l_a$ от вершины $A$. Это полностью определяет положение точки $L$.

По определению, точка $L$ (конец биссектрисы) лежит на стороне $BC$. Следовательно, точки $B, L, C$ лежат на одной прямой. Вершина $B$ является точкой пересечения двух линий: луча, на котором лежит сторона $AB$, и прямой, проходящей через точки $C$ и $L$. Это соображение и лежит в основе плана построения.

1. Начертим произвольный луч $Ap$.
2. От луча $Ap$ в некоторой полуплоскости отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Получим второй луч $Aq$. Таким образом, мы построили угол $\angle pAq = \alpha$.
3. На луче $Aq$ от точки $A$ отложим отрезок $AC$, равный по длине данной стороне $b$.
4. Построим биссектрису угла $\angle pAq$. Пусть это будет луч $Am$.
5. На луче $Am$ от точки $A$ отложим отрезок $AL$, равный по длине данной биссектрисе $l_a$.
6. Проведем прямую через точки $C$ и $L$.
7. Точка пересечения прямой $CL$ с лучом $Ap$ и будет третьей вершиной искомого треугольника. Обозначим эту точку $B$.
8. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$. По построению:

• Сторона $AC$ имеет длину $b$ (шаг 3).
• Угол $\angle BAC$ (он же $\angle pAq$) равен данному углу $\alpha$ (шаг 2).
• Отрезок $AL$ является биссектрисой угла $\angle BAC$ (поскольку луч $Am$ — биссектриса угла $\angle pAq$, шаг 4), и его длина равна $l_a$ (шаг 5).

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Построение возможно, если все шаги выполнимы. Шаги 1-6 выполнимы всегда при заданных $b > 0, l_a > 0, 0 < \alpha < 180^\circ$. Шаг 7 требует, чтобы прямая $CL$ пересекала луч $Ap$ в единственной точке.

1. Если прямая $CL$ параллельна лучу $Ap$, то точка пересечения $B$ не существует, и задача не имеет решения. Прямые параллельны, если высоты, опущенные из точек $C$ и $L$ на прямую $Ap$, равны. Высота из $C$ равна $h_C = AC \cdot \sin(\angle pAq) = b \sin\alpha$. Высота из $L$ равна $h_L = AL \cdot \sin(\angle pAm) = l_a \sin(\alpha/2)$.
Приравнивая высоты и используя формулу $\sin\alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$, получаем:
$b \cdot 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2) = l_a \sin(\alpha/2)$.
Так как $\sin(\alpha/2) > 0$ для $0 < \alpha < 180^\circ$, можно сократить, получив условие параллельности: $l_a = 2b\cos(\alpha/2)$. В этом случае решений нет.

2. Если $l_a > 2b\cos(\alpha/2)$, то точка пересечения $B$ прямой $CL$ и прямой $Ap$ будет лежать не на луче $Ap$, а на его дополнении (по другую сторону от точки $A$). В этом случае угол при вершине $A$ в построенном треугольнике будет равен $180^\circ - \alpha$, что не удовлетворяет условию. Следовательно, в этом случае задача также не имеет решения.

3. Единственное решение существует, когда прямая $CL$ пересекает именно луч $Ap$. Это происходит при выполнении условия: $l_a < 2b\cos(\alpha/2)$.

Ответ: Задача на построение имеет единственное решение, если заданные величины удовлетворяют условию $l_a < 2b\cos(\frac{\alpha}{2})$. Алгоритм построения описан выше в соответствующем разделе. В случае, если $l_a \ge 2b\cos(\frac{\alpha}{2})$, задача не имеет решений.

295 Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.

Пусть нам даны отрезки, равные по длине стороне $a$ и медиане $m_b$, а также угол $\alpha$. Требуется построить треугольник $ABC$ такой, что одна из его сторон (например, $BC$) равна $a$, медиана, проведенная к другой стороне (например, $BM$ к стороне $AC$), равна $m_b$, а угол между этой стороной и медианой ($\angle CBM$) равен $\alpha$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. В нем сторона $BC = a$, $M$ — середина стороны $AC$, медиана $BM = m_b$ и угол $\angle CBM = \alpha$.

Рассмотрим вспомогательный треугольник $BCM$. В этом треугольнике нам известны два элемента: сторона $BC = a$ и сторона $BM = m_b$. Также известен угол между этими сторонами: $\angle CBM = \alpha$. По двум сторонам и углу между ними ($a$, $m_b$, $\alpha$) треугольник $BCM$ можно построить однозначно.

После того как этот треугольник будет построен, мы найдем положение вершин $B$, $C$ и точки $M$. Вершина $A$ искомого треугольника $ABC$ связана с точкой $M$ тем, что $M$ — середина стороны $AC$. Это означает, что точка $A$ лежит на прямой, проходящей через точки $C$ и $M$, причем $CM = MA$, а точка $M$ находится между $C$ и $A$. Следовательно, мы можем найти вершину $A$, продлив отрезок $CM$ за точку $M$ на его собственную длину. Это и определяет план построения.

Построение

1. На произвольной прямой отложим отрезок $BC$, равный данной стороне $a$.
2. От луча $BC$ в точке $B$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Назовем вторую сторону угла лучом $BK$.
3. На луче $BK$ отложим от точки $B$ отрезок $BM$, равный данной медиане $m_b$.
4. Соединим точки $C$ и $M$. Вспомогательный треугольник $BCM$ построен.
5. Проведем прямую через точки $C$ и $M$.
6. На этой прямой, на продолжении отрезка $CM$ за точку $M$, отложим отрезок $MA$, равный отрезку $CM$. (Это можно сделать, построив окружность с центром $M$ и радиусом $CM$; точка $A$ будет второй точкой пересечения окружности с прямой $CM$).
7. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.
Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.
Во-первых, сторона $BC$ равна $a$ по построению.
Во-вторых, отрезок $BM$ является медианой к стороне $AC$, так как точка $M$ по построению является серединой отрезка $AC$ ($C, M, A$ лежат на одной прямой и $CM=MA$).
В-третьих, длина этой медианы $BM$ равна $m_b$ по построению.
В-четвертых, угол между стороной $BC$ и медианой $BM$, то есть $\angle CBM$, равен $\alpha$ по построению.
Таким образом, все условия задачи выполнены, и треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Задача имеет решение, если возможно построить треугольник $BCM$. Для этого необходимо, чтобы заданные отрезки $a$ и $m_b$ имели положительную длину ($a > 0$, $m_b > 0$), а данный угол $\alpha$ удовлетворял условию $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Если $\alpha = 0^\circ$ или $\alpha = 180^\circ$, точки $B$, $C$, $M$ лежат на одной прямой, и треугольник $ABC$ вырождается в отрезок. При выполнении этих условий построение треугольника $BCM$ по двум сторонам и углу между ними всегда возможно и единственно. Все последующие шаги построения также выполняются однозначно. Следовательно, при $a>0$, $m_b>0$ и $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ задача всегда имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Построение выполняется с помощью вспомогательного треугольника. Пусть данная сторона — $BC$, медиана — $BM$, а угол — $\angle CBM$. Строим $\triangle BCM$ по двум сторонам $BC$, $BM$ и углу $\angle CBM$ между ними. Затем на продолжении отрезка $CM$ за точку $M$ откладываем отрезок $MA = CM$. Треугольник $ABC$ — искомый.

296 Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник ABC так, чтобы:

а) AB = PQ, ∠ABC = ∠hk, ∠BAC = 12∠hk;

б) AB = PQ, ∠ABC = ∠hk, ∠BAC = 14∠hk.

а) Построение треугольника $ABC$ основано на втором признаке равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Нам необходимо построить треугольник по стороне $AB=PQ$ и углам $\angle ABC = \angle hk$ и $\angle BAC = \frac{1}{2}\angle hk$.

План построения состоит из следующих шагов:

1. Построение угла, равного $\frac{1}{2}\angle hk$.
   Для этого необходимо построить биссектрису данного угла $\angle hk$ с помощью циркуля и линейки.
   • Пусть дан угол с вершиной в точке O. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке O. Она пересечет стороны угла в точках M и N.
   • Из точек M и N как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния MN) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Точку их пересечения обозначим S.
   • Проведем луч OS. Этот луч является биссектрисой исходного угла, и, следовательно, $\angle MOS = \frac{1}{2}\angle hk$.
2. Построение треугольника $ABC$.
   • Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку A.
   • С помощью циркуля измерим длину отрезка $PQ$ и отложим на прямой от точки A отрезок $AB$ такой же длины.
   • В точке B отложим от луча BA угол, равный данному углу $\angle hk$. Построим луч $l_1$, выходящий из точки B.
   • В точке A отложим от луча AB угол, равный построенному углу $\frac{1}{2}\angle hk$. Построим луч $l_2$, выходящий из точки A.
   • Точка пересечения лучей $l_1$ и $l_2$ и будет третьей вершиной искомого треугольника — точкой C.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению $AB = PQ$, $\angle ABC = \angle hk$ и $\angle BAC = \frac{1}{2}\angle hk$. Задача имеет решение, если сумма углов при стороне $AB$ меньше $180^\circ$, то есть $\angle hk + \frac{1}{2}\angle hk < 180^\circ$, что эквивалентно $\angle hk < 120^\circ$.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ построен в соответствии с приведенным алгоритмом.

б) Построение в этом случае аналогично пункту а). Основное отличие заключается в том, что угол $\angle BAC$ должен быть равен $\frac{1}{4}\angle hk$. Для этого потребуется дважды построить биссектрису угла.

Алгоритм построения:

1. Построение угла, равного $\frac{1}{4}\angle hk$.
   • Сначала строим биссектрису данного угла $\angle hk$, получая угол величиной $\frac{1}{2}\angle hk$.
   • Затем строим биссектрису полученного угла ($\frac{1}{2}\angle hk$), в результате чего получаем искомый угол величиной $\frac{1}{4}\angle hk$.
2. Построение треугольника $ABC$.
   • На произвольной прямой откладываем отрезок $AB$, равный по длине отрезку $PQ$.
   • От луча $BA$ с вершиной в точке $B$ откладываем угол, равный $\angle hk$.
   • От луча $AB$ с вершиной в точке $A$ откладываем угол, равный $\frac{1}{4}\angle hk$ (построенный в п. 1).
   • Точку пересечения сторон построенных углов (не совпадающих со стороной $AB$) обозначаем как $C$.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению $AB=PQ$, $\angle ABC = \angle hk$ и $\angle BAC = \frac{1}{4}\angle hk$. Построение возможно, если сумма углов при стороне $AB$ меньше $180^\circ$: $\angle hk + \frac{1}{4}\angle hk < 180^\circ$, или $\frac{5}{4}\angle hk < 180^\circ$, что означает $\angle hk < 144^\circ$.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ построен в соответствии с описанным алгоритмом.

297 Даны два угла hk и h₁k₁ и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы AB = PQ, ∠A = ∠hk, ∠B = 12∠h₁k₁.

Для построения треугольника $ABC$ по заданным условиям ($AB=PQ$, $?A = ?hk$, $?B = \frac{1}{2}?h_1k_1$) необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку без делений.

Анализ

Задача сводится к построению треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. У нас есть сторона $AB$, длина которой равна длине отрезка $PQ$. Один из прилежащих углов, $?A$, нам дан. Второй прилежащий угол, $?B$, нужно сначала построить, так как он должен быть равен половине данного угла $?h_1k_1$. Следовательно, первым шагом будет построение биссектрисы угла $?h_1k_1$.

Построение

1. Построение угла, равного $\frac{1}{2}?h_1k_1$.
   Сначала построим биссектрису данного угла $?h_1k_1$. Для этого:
   • Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла $?h_1k_1$. Точки пересечения окружности со сторонами угла обозначим $M$ и $N$.
   • Из точек $M$ и $N$ проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния между $M$ и $N$) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Точку их пересечения обозначим $L$.
   • Проведем луч из вершины угла $?h_1k_1$ через точку $L$. Этот луч является биссектрисой угла. Угол между этим лучом и любой из сторон исходного угла $?h_1k_1$ будет равен $\frac{1}{2}?h_1k_1$. Обозначим этот полученный угол как $?\beta$.
2. Построение стороны $AB$.
   Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$. С помощью циркуля измерим длину отрезка $PQ$. Затем, установив острие циркуля в точку $A$, отложим на прямой отрезок $AB$, равный $PQ$.
3. Построение угла $A$.
   От луча $AB$ отложим угол, равный данному углу $?hk$. Для этого используем стандартный метод копирования угла:
   • Проведем дугу окружности с центром в вершине угла $?hk$, пересекающую его стороны.
   • Проведем дугу того же радиуса с центром в точке $A$, пересекающую луч $AB$ в некоторой точке $D$.
   • Измерим циркулем расстояние между точками пересечения первой дуги со сторонами угла $?hk$.
   • Отложим это расстояние на второй дуге от точки $D$, получив точку $E$.
   • Проведем луч $AE$. Полученный угол $?EAB$ равен $?hk$.
4. Построение угла $B$.
   Аналогично, от луча $BA$ в ту же полуплоскость, что и луч $AE$, отложим угол, равный построенному нами ранее углу $?\beta = \frac{1}{2}?h_1k_1$. Получим луч $BF$.
5. Завершение построения.
   Лучи $AE$ и $BF$ пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $AB$ равна отрезку $PQ$ по построению (шаг 2).
• Угол $A$ равен углу $?hk$ по построению (шаг 3).
• Угол $B$ равен углу $?\beta$, который равен $\frac{1}{2}?h_1k_1$ по построению (шаги 1 и 4).

Следовательно, треугольник $ABC$ является искомым. Построение возможно, если сумма углов $?A$ и $?B$ меньше 180°, то есть $?hk + \frac{1}{2}?h_1k_1 < 180°$.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится следующим образом: 1) Строится биссектриса угла $?h_1k_1$, чтобы получить угол величиной $\frac{1}{2}?h_1k_1$. 2) На прямой откладывается отрезок $AB$, равный $PQ$. 3) От луча $AB$ откладывается угол $A$, равный $?hk$. 4) От луча $BA$ откладывается угол $B$, равный построенной половине угла $?h_1k_1$. 5) Точка пересечения сторон построенных углов является вершиной $C$.

298 Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.

а) по двум катетам;

Пусть даны два отрезка, длины которых равны $a$ и $b$. Требуется построить прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

Порядок построения:

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $C$. Эта точка будет вершиной прямого угла.
2. Построим прямую, проходящую через точку $C$ и перпендикулярную исходной прямой. Для этого из точки $C$ проведем окружность, пересекающую прямую в двух точках. Из этих двух точек как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем расстояние до $C$) до их пересечения. Прямая, соединяющая точку $C$ и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна исходной. Угол между этими прямыми равен $90^\circ$.
3. На одной из прямых отложим от точки $C$ отрезок $CA$, равный по длине одному из данных катетов, например, $b$.
4. На второй, перпендикулярной ей прямой, отложим от точки $C$ отрезок $CB$, равный по длине второму данному катету, $a$.
5. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком. Этот отрезок будет гипотенузой.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению угол $\angle C = 90^\circ$, а его катеты $CA$ и $CB$ равны заданным длинам $b$ и $a$ соответственно. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), построенный треугольник однозначно определяется заданными элементами.

Ответ: Прямоугольный треугольник построен по двум заданным катетам.

б) по катету и прилежащему к нему острому углу.

Пусть дан отрезок длиной $a$ (катет) и острый угол $\alpha$, прилежащий к этому катету. Требуется построить прямоугольный треугольник по этим элементам с помощью циркуля и линейки.

Порядок построения:

1. Построим отрезок $BC$, длина которого равна данной длине катета $a$.
2. От луча $BC$ в точке $B$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим луч $BK$ так, чтобы $\angle KBC = \alpha$.
3. В точке $C$ восстановим перпендикуляр к отрезку $BC$. Для этого построим луч $CM$ так, чтобы $\angle MCB = 90^\circ$.
4. Точка пересечения лучей $BK$ и $CM$ будет третьей вершиной треугольника. Обозначим ее $A$.

Треугольник $ABC$ является искомым. В нем катет $BC$ равен $a$, прилежащий к нему острый угол $\angle ABC$ равен $\alpha$, а угол $\angle BCA$ — прямой. Все условия задачи выполнены. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), построенный треугольник однозначно определяется заданными элементами (второй прилежащий угол $\angle BCA$ равен $90^\circ$).

Ответ: Прямоугольный треугольник построен по заданным катету и прилежащему острому углу.

299 Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане, проведённой к основанию.

В этой задаче требуется описать алгоритм построения равнобедренного треугольника с помощью циркуля и линейки по заданным элементам.

а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию

Пусть дана боковая сторона, равная отрезку $l$, и угол при вершине, противолежащей основанию, равный $?$.

Анализ:

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен, где $AB = BC = l$ — боковые стороны, а $?ABC = ?$ — угол при вершине. Этот треугольник можно построить по двум сторонам и углу между ними.

Построение:

1. Строим угол с вершиной в точке $B$, равный данному углу $?$.
2. На сторонах этого угла от вершины $B$ откладываем отрезки $BA$ и $BC$, равные данному отрезку $l$.
3. Соединяем точки $A$ и $C$ отрезком.

Доказательство:

В построенном треугольнике $?ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны $l$ по построению, а угол $?ABC$ равен $?$ по построению. Следовательно, $?ABC$ — равнобедренный треугольник, удовлетворяющий условиям задачи. Задача имеет решение, если $? < 180°$.

Ответ: Построение выполняется по двум сторонам (равным боковой стороне) и углу между ними (равному углу при вершине).

б) по основанию и углу при основании

Пусть дано основание, равное отрезку $b$, и угол при основании, равный $?$.

Анализ:

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен, где $AC = b$ — основание, а $?BAC = ?BCA = ?$ — углы при основании. Этот треугольник можно построить по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Построение:

1. Строим отрезок $AC$, равный данному отрезку $b$.
2. От луча $AC$ в одной полуплоскости строим угол $?CAB$, равный данному углу $?$.
3. От луча $CA$ в той же полуплоскости строим угол $?BCA$, равный данному углу $?$.
4. Лучи, построенные на шагах 2 и 3, пересекутся в точке $B$.

Доказательство:

В построенном треугольнике $?ABC$ сторона $AC$ равна $b$ по построению, углы $?CAB$ и $?BCA$ равны $?$ по построению. Так как углы при основании равны, треугольник является равнобедренным. Задача имеет решение, если $2? < 180°$, то есть $? < 90°$.

Ответ: Построение выполняется по стороне (основанию) и двум прилежащим к ней углам (равным углу при основании).

в) по боковой стороне и углу при основании

Пусть дана боковая сторона, равная отрезку $l$, и угол при основании, равный $?$.

Анализ:

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен, где $AB=BC=l$ и $?BAC = ?$. Мы знаем две стороны ($AB=l$, $BC=l$) и один угол ($?BAC = ?$), который не лежит между этими сторонами. Другой угол при основании $?BCA$ также равен $?$.

Построение:

1. Строим произвольную прямую и на ней выбираем точку $A$.
2. От этой прямой строим луч $AD$ так, чтобы угол $?DAC$ был равен данному углу $?$.
3. На луче $AD$ откладываем отрезок $AB$, равный данному отрезку $l$.
4. Строим окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным $l$.
5. Эта окружность пересечет исходную прямую в двух точках. Одну из них, отличную от $A$, обозначим $C$.
6. Соединяем точки $B$ и $C$ отрезком.

Доказательство:

В построенном треугольнике $?ABC$ сторона $AB$ равна $l$ по построению. Сторона $BC$ также равна $l$, так как точка $C$ лежит на окружности с центром $B$ и радиусом $l$. Угол при основании $?BAC$ равен $?$ по построению. Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Задача имеет решение, если $? < 90°$.

Ответ: Построение сводится к нахождению третьей вершины как точки пересечения окружности (с центром во второй вершине и радиусом, равным боковой стороне) и прямой, на которой лежит основание.

г) по основанию и боковой стороне

Пусть дано основание, равное отрезку $b$, и боковая сторона, равная отрезку $l$.

Анализ:

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен, где $AC = b$, $AB = BC = l$. Этот треугольник можно построить по трем сторонам.

Построение:

1. Строим отрезок $AC$, равный данному отрезку $b$.
2. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $l$.
3. Из точки $C$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $l$.
4. Точку пересечения этих дуг обозначаем $B$.
5. Соединяем точку $B$ с точками $A$ и $C$.

Доказательство:

В построенном треугольнике $?ABC$ сторона $AC$ равна $b$ по построению. Стороны $AB$ и $BC$ равны $l$ как радиусы окружностей, построенных из центров $A$ и $C$ соответственно. Следовательно, $?ABC$ — равнобедренный с заданными основанием и боковой стороной. Задача имеет решение, если выполняется неравенство треугольника: $l + l > b$, то есть $2l > b$.

Ответ: Построение выполняется по трем сторонам.

д) по основанию и медиане, проведённой к основанию

Пусть дано основание, равное отрезку $b$, и медиана, проведенная к основанию, равная отрезку $m$.

Анализ:

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Пусть в искомом треугольнике $ABC$ основание $AC = b$, а медиана $BM = m$. Тогда $BM$ также является высотой, то есть $BM ? AC$, а точка $M$ — середина $AC$. Таким образом, построение сводится к построению двух равных прямоугольных треугольников $ABM$ и $CBM$ по двум катетам ($AM = MC = b/2$ и $BM = m$).

Построение:

1. Строим отрезок $AC$, равный данному отрезку $b$.
2. Находим середину отрезка $AC$ — точку $M$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к $AC$.
3. Через точку $M$ проводим прямую, перпендикулярную $AC$.
4. На этой перпендикулярной прямой откладываем от точки $M$ отрезок $MB$, равный данному отрезку $m$.
5. Соединяем точку $B$ с точками $A$ и $C$.

Доказательство:

В построенном треугольнике $?ABC$ сторона $AC$ равна $b$ по построению. Отрезок $BM$ является медианой, так как $M$ — середина $AC$, и его длина равна $m$ по построению. Так как медиана $BM$ по построению является и высотой ($BM ? AC$), то треугольник $ABC$ является равнобедренным. Задача всегда имеет решение.

Ответ: Построение сводится к нахождению середины основания, восстановлению перпендикуляра из этой точки и откладыванию на нем длины медианы для нахождения вершины треугольника.