Номер 294, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 294, страница 86.

294 Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

Для решения задачи о построении треугольника по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла, проведем анализ, опишем алгоритм построения, докажем его корректность и исследуем условия, при которых задача имеет решение.

Пусть даны: отрезок длиной $b$ (сторона), угол $\alpha$ (прилежащий угол) и отрезок длиной $l_a$ (биссектриса, проведенная из вершины угла $\alpha$). Требуется построить треугольник $ABC$, в котором сторона $AC = b$, $\angle BAC = \alpha$, а длина биссектрисы $AL$ (где $L$ — точка на стороне $BC$) равна $l_a$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Мы знаем длину стороны $AC = b$ и величину угла $\angle BAC = \alpha$. Это позволяет нам построить угол $\alpha$ и отложить на одной из его сторон отрезок $AC$ длиной $b$. Вершина $A$ и вершина $C$ теперь зафиксированы, а третья вершина $B$ должна лежать на второй стороне угла.

Нам также дана длина биссектрисы $AL = l_a$. Биссектриса $AL$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle CAL = \angle LAB = \alpha/2$. Таким образом, мы можем построить луч $Am$, являющийся биссектрисой угла $\angle BAC$. Точка $L$ лежит на этом луче на расстоянии $l_a$ от вершины $A$. Это полностью определяет положение точки $L$.

По определению, точка $L$ (конец биссектрисы) лежит на стороне $BC$. Следовательно, точки $B, L, C$ лежат на одной прямой. Вершина $B$ является точкой пересечения двух линий: луча, на котором лежит сторона $AB$, и прямой, проходящей через точки $C$ и $L$. Это соображение и лежит в основе плана построения.

Построение

1. Начертим произвольный луч $Ap$.
2. От луча $Ap$ в некоторой полуплоскости отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Получим второй луч $Aq$. Таким образом, мы построили угол $\angle pAq = \alpha$.
3. На луче $Aq$ от точки $A$ отложим отрезок $AC$, равный по длине данной стороне $b$.
4. Построим биссектрису угла $\angle pAq$. Пусть это будет луч $Am$.
5. На луче $Am$ от точки $A$ отложим отрезок $AL$, равный по длине данной биссектрисе $l_a$.
6. Проведем прямую через точки $C$ и $L$.
7. Точка пересечения прямой $CL$ с лучом $Ap$ и будет третьей вершиной искомого треугольника. Обозначим эту точку $B$.
8. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$. По построению:

• Сторона $AC$ имеет длину $b$ (шаг 3).
• Угол $\angle BAC$ (он же $\angle pAq$) равен данному углу $\alpha$ (шаг 2).
• Отрезок $AL$ является биссектрисой угла $\angle BAC$ (поскольку луч $Am$ — биссектриса угла $\angle pAq$, шаг 4), и его длина равна $l_a$ (шаг 5).

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно, если все шаги выполнимы. Шаги 1-6 выполнимы всегда при заданных $b > 0, l_a > 0, 0 < \alpha < 180^\circ$. Шаг 7 требует, чтобы прямая $CL$ пересекала луч $Ap$ в единственной точке.

1. Если прямая $CL$ параллельна лучу $Ap$, то точка пересечения $B$ не существует, и задача не имеет решения. Прямые параллельны, если высоты, опущенные из точек $C$ и $L$ на прямую $Ap$, равны. Высота из $C$ равна $h_C = AC \cdot \sin(\angle pAq) = b \sin\alpha$. Высота из $L$ равна $h_L = AL \cdot \sin(\angle pAm) = l_a \sin(\alpha/2)$.
Приравнивая высоты и используя формулу $\sin\alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$, получаем:
$b \cdot 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2) = l_a \sin(\alpha/2)$.
Так как $\sin(\alpha/2) > 0$ для $0 < \alpha < 180^\circ$, можно сократить, получив условие параллельности: $l_a = 2b\cos(\alpha/2)$. В этом случае решений нет.

2. Если $l_a > 2b\cos(\alpha/2)$, то точка пересечения $B$ прямой $CL$ и прямой $Ap$ будет лежать не на луче $Ap$, а на его дополнении (по другую сторону от точки $A$). В этом случае угол при вершине $A$ в построенном треугольнике будет равен $180^\circ - \alpha$, что не удовлетворяет условию. Следовательно, в этом случае задача также не имеет решения.

3. Единственное решение существует, когда прямая $CL$ пересекает именно луч $Ap$. Это происходит при выполнении условия: $l_a < 2b\cos(\alpha/2)$.

Ответ: Задача на построение имеет единственное решение, если заданные величины удовлетворяют условию $l_a < 2b\cos(\frac{\alpha}{2})$. Алгоритм построения описан выше в соответствующем разделе. В случае, если $l_a \ge 2b\cos(\frac{\alpha}{2})$, задача не имеет решений.