Номер 298, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 298, страница 86.

298 Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.

а) по двум катетам;

Пусть даны два отрезка, длины которых равны $a$ и $b$. Требуется построить прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

Порядок построения:

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $C$. Эта точка будет вершиной прямого угла.
2. Построим прямую, проходящую через точку $C$ и перпендикулярную исходной прямой. Для этого из точки $C$ проведем окружность, пересекающую прямую в двух точках. Из этих двух точек как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем расстояние до $C$) до их пересечения. Прямая, соединяющая точку $C$ и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна исходной. Угол между этими прямыми равен $90^\circ$.
3. На одной из прямых отложим от точки $C$ отрезок $CA$, равный по длине одному из данных катетов, например, $b$.
4. На второй, перпендикулярной ей прямой, отложим от точки $C$ отрезок $CB$, равный по длине второму данному катету, $a$.
5. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком. Этот отрезок будет гипотенузой.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению угол $\angle C = 90^\circ$, а его катеты $CA$ и $CB$ равны заданным длинам $b$ и $a$ соответственно. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), построенный треугольник однозначно определяется заданными элементами.

Ответ: Прямоугольный треугольник построен по двум заданным катетам.

б) по катету и прилежащему к нему острому углу.

Пусть дан отрезок длиной $a$ (катет) и острый угол $\alpha$, прилежащий к этому катету. Требуется построить прямоугольный треугольник по этим элементам с помощью циркуля и линейки.

Порядок построения:

1. Построим отрезок $BC$, длина которого равна данной длине катета $a$.
2. От луча $BC$ в точке $B$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим луч $BK$ так, чтобы $\angle KBC = \alpha$.
3. В точке $C$ восстановим перпендикуляр к отрезку $BC$. Для этого построим луч $CM$ так, чтобы $\angle MCB = 90^\circ$.
4. Точка пересечения лучей $BK$ и $CM$ будет третьей вершиной треугольника. Обозначим ее $A$.

Треугольник $ABC$ является искомым. В нем катет $BC$ равен $a$, прилежащий к нему острый угол $\angle ABC$ равен $\alpha$, а угол $\angle BCA$ — прямой. Все условия задачи выполнены. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), построенный треугольник однозначно определяется заданными элементами (второй прилежащий угол $\angle BCA$ равен $90^\circ$).

Ответ: Прямоугольный треугольник построен по заданным катету и прилежащему острому углу.