Номер 2, страница 87 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Вопросы для повторения к главе 4 - номер 2, страница 87.

Условие.

2 Какой угол называется внешним углом треугольника? Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Какой угол называется внешним углом треугольника?

Внешним углом треугольника называется угол, который является смежным с одним из внутренних углов этого треугольника. Поскольку у треугольника три вершины, у него можно построить три пары внешних углов (по два при каждой вершине, которые равны между собой как вертикальные).

Ответ: Внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из его внутренних углов.

Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим произвольный треугольник, например, `?ABC`.

Дано:
`?ABC` — треугольник.
`?1`, `?2`, `?3` — внутренние углы треугольника при вершинах `A`, `B` и `C` соответственно.
`?4` — внешний угол при вершине `C`, смежный с `?3`.

Доказать:
`$?4 = ?1 + ?2$`

Доказательство:

1. Сумма углов любого треугольника равна `$180°$`. Для `?ABC` это означает:
   `$?1 + ?2 + ?3 = 180°$`
2. По определению, внешний угол `?4` смежен с внутренним углом `?3`. Сумма смежных углов равна `$180°$`. Следовательно:
   `$?3 + ?4 = 180°$`
3. Мы получили два выражения, оба равные `$180°$`. Мы можем их приравнять:
   `$?1 + ?2 + ?3 = ?3 + ?4$`
4. Вычтем из обеих частей равенства величину угла `?3`:
   `$?1 + ?2 = ?4$`

Таким образом, мы доказали, что внешний угол треугольника (`?4`) равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (`?1` и `?2`). Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема доказана. Величина внешнего угла треугольника равна сумме величин двух внутренних углов, не смежных с ним.