Номер 9, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 4. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 9, страница 88.

9 Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?

Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон, противолежащих вершинам $A$, $B$ и $C$, как $a$, $b$ и $c$ соответственно (то есть $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$). Нам нужно доказать, что любая сторона этого треугольника меньше суммы двух других. Достаточно доказать одно из трех неравенств, например, $c < a + b$ (или $AB < BC + AC$), так как остальные доказываются аналогично.

Построение: На луче, который является продолжением стороны $AC$ за точку $C$, отложим отрезок $CD$, длина которого равна длине стороны $BC$. Таким образом, $CD = BC = a$. Соединим точки $B$ и $D$.

Доказательство:

1. Рассмотрим полученный треугольник $BCD$. По построению $BC = CD$, следовательно, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle CBD = \angle CDB$.
2. Угол $\angle ABD$ является суммой углов $\angle ABC$ и $\angle CBD$. Значит, $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$. Так как $\angle ABC$ — это угол треугольника и его градусная мера больше нуля, то очевидно, что $\angle ABD > \angle CBD$.
3. Используя равенство из пункта 1 и неравенство из пункта 2, получаем: $\angle ABD > \angle CDB$.
4. Теперь рассмотрим большой треугольник $ABD$. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ABD$ угол $\angle ABD$ больше угла $\angle CDB$ (который также является углом $\angle ADB$). Следовательно, сторона $AD$, лежащая напротив угла $\angle ABD$, больше стороны $AB$, лежащей напротив угла $\angle ADB$. То есть, $AD > AB$.
5. Длина отрезка $AD$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CD$. Мы знаем, что $AC = b$, а по нашему построению $CD = a$. Таким образом, $AD = AC + CD = b + a$.
6. Подставив это выражение в неравенство из пункта 4, получаем: $b + a > AB$, что эквивалентно $a + b > c$.

Мы доказали, что сторона $AB$ меньше суммы сторон $AC$ и $BC$. Аналогичным образом, откладывая отрезки на продолжениях других сторон, можно доказать, что $a < b + c$ и $b < a + c$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон.

Что такое неравенство треугольника?

Неравенство треугольника — это фундаментальное свойство геометрии, которое формулирует необходимое и достаточное условие существования треугольника с заданными длинами сторон. Оно гласит, что для любого существующего треугольника длина каждой его стороны всегда меньше суммы длин двух других сторон.

Математически для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ неравенство треугольника записывается в виде системы из трех неравенств:

• $a < b + c$
• $b < a + c$
• $c < a + b$

Например, из отрезков длиной 3, 4 и 5 можно составить треугольник, потому что выполняются все три условия: $3 < 4+5$ (то есть $3 < 9$), $4 < 3+5$ (то есть $4 < 8$), и $5 < 3+4$ (то есть $5 < 7$). А из отрезков длиной 3, 4 и 8 составить треугольник невозможно, так как не выполняется неравенство $8 < 3+4$ (неравенство $8 < 7$ является ложным).

Следствием этой теоремы является то, что любая сторона треугольника больше модуля разности двух других сторон. Например, из $a < b + c$ следует $a - b < c$, а из $b < a + c$ следует $b - a < c$, что вместе дает $|a-b| < c$. Таким образом, для любой стороны, например $c$, должно выполняться двойное неравенство: $|a - b| < c < a + b$.

Ответ: Неравенство треугольника — это теорема, утверждающая, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Для сторон $a, b, c$ это выражается системой неравенств $a < b+c$, $b < a+c$, $c < a+b$.