Номер 9, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Вопросы для повторения к главе 4 - номер 9, страница 88.

Условие.

9 Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон, противолежащих вершинам $A$, $B$ и $C$, как $a$, $b$ и $c$ соответственно (то есть $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$). Нам нужно доказать, что любая сторона этого треугольника меньше суммы двух других. Достаточно доказать одно из трех неравенств, например, $c < a + b$ (или $AB < BC + AC$), так как остальные доказываются аналогично.

Построение: На луче, который является продолжением стороны $AC$ за точку $C$, отложим отрезок $CD$, длина которого равна длине стороны $BC$. Таким образом, $CD = BC = a$. Соединим точки $B$ и $D$.

Доказательство:

1. Рассмотрим полученный треугольник $BCD$. По построению $BC = CD$, следовательно, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle CBD = \angle CDB$.
2. Угол $\angle ABD$ является суммой углов $\angle ABC$ и $\angle CBD$. Значит, $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$. Так как $\angle ABC$ — это угол треугольника и его градусная мера больше нуля, то очевидно, что $\angle ABD > \angle CBD$.
3. Используя равенство из пункта 1 и неравенство из пункта 2, получаем: $\angle ABD > \angle CDB$.
4. Теперь рассмотрим большой треугольник $ABD$. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ABD$ угол $\angle ABD$ больше угла $\angle CDB$ (который также является углом $\angle ADB$). Следовательно, сторона $AD$, лежащая напротив угла $\angle ABD$, больше стороны $AB$, лежащей напротив угла $\angle ADB$. То есть, $AD > AB$.
5. Длина отрезка $AD$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CD$. Мы знаем, что $AC = b$, а по нашему построению $CD = a$. Таким образом, $AD = AC + CD = b + a$.
6. Подставив это выражение в неравенство из пункта 4, получаем: $b + a > AB$, что эквивалентно $a + b > c$.

Мы доказали, что сторона $AB$ меньше суммы сторон $AC$ и $BC$. Аналогичным образом, откладывая отрезки на продолжениях других сторон, можно доказать, что $a < b + c$ и $b < a + c$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон.

Что такое неравенство треугольника?

Неравенство треугольника — это фундаментальное свойство геометрии, которое формулирует необходимое и достаточное условие существования треугольника с заданными длинами сторон. Оно гласит, что для любого существующего треугольника длина каждой его стороны всегда меньше суммы длин двух других сторон.

Математически для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ неравенство треугольника записывается в виде системы из трех неравенств:

• $a < b + c$
• $b < a + c$
• $c < a + b$

Например, из отрезков длиной 3, 4 и 5 можно составить треугольник, потому что выполняются все три условия: $3 < 4+5$ (то есть $3 < 9$), $4 < 3+5$ (то есть $4 < 8$), и $5 < 3+4$ (то есть $5 < 7$). А из отрезков длиной 3, 4 и 8 составить треугольник невозможно, так как не выполняется неравенство $8 < 3+4$ (неравенство $8 < 7$ является ложным).

Следствием этой теоремы является то, что любая сторона треугольника больше модуля разности двух других сторон. Например, из $a < b + c$ следует $a - b < c$, а из $b < a + c$ следует $b - a < c$, что вместе дает $|a-b| < c$. Таким образом, для любой стороны, например $c$, должно выполняться двойное неравенство: $|a - b| < c < a + b$.

Ответ: Неравенство треугольника — это теорема, утверждающая, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Для сторон $a, b, c$ это выражается системой неравенств $a < b+c$, $b < a+c$, $c < a+b$.