Номер 7, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 4. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 7, страница 88.

7 Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Для доказательства этого утверждения можно использовать два основных подхода: один основан на свойствах углов и сторон треугольника (геометрический), а другой — на теореме Пифагора (алгебраический).

Способ 1: Геометрическое доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ABC $, в котором $ \angle C $ — прямой, то есть $ \angle C = 90^\circ $. В этом треугольнике стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а сторона $AB$ — гипотенузой.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, для $ \triangle ABC $ справедливо равенство:

$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $

Подставим известное значение $ \angle C = 90^\circ $:

$ \angle A + \angle B + 90^\circ = 180^\circ $

Отсюда получаем, что сумма двух острых углов равна $ \angle A + \angle B = 90^\circ $.

Так как в невырожденном треугольнике углы положительны ($ \angle A > 0^\circ $ и $ \angle B > 0^\circ $), то каждый из этих углов строго меньше $90^\circ$. Таким образом, прямой угол $ \angle C $ является наибольшим углом в треугольнике:

$ \angle C > \angle A $ и $ \angle C > \angle B $.

В геометрии есть теорема, которая гласит: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Применим эту теорему к нашему треугольнику:

• Сторона $AB$ (гипотенуза) лежит против наибольшего угла $ \angle C $.
• Сторона $BC$ (катет) лежит против угла $ \angle A $.
• Сторона $AC$ (катет) лежит против угла $ \angle B $.

Так как $ \angle C > \angle A $, то сторона $AB$ больше стороны $BC$, то есть $ AB > BC $.

Так как $ \angle C > \angle B $, то сторона $AB$ больше стороны $AC$, то есть $ AB > AC $.

Мы доказали, что гипотенуза $AB$ больше каждого из катетов, $AC$ и $BC$.

Ответ: Доказано, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов.

Способ 2: Алгебраическое доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Обозначим длины его катетов как $a$ и $b$, а длину гипотенузы — как $c$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$ c^2 = a^2 + b^2 $

Длины сторон треугольника — это положительные числа, поэтому $a > 0$ и $b > 0$. Следовательно, их квадраты также строго положительны: $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$.

Теперь сравним гипотенузу $c$ с каждым из катетов.

1. Сравним $c$ и $a$. Из теоремы Пифагора мы знаем, что $c^2 = a^2 + b^2$. Поскольку $b^2 > 0$, мы можем утверждать, что $c^2 > a^2$. Так как длины сторон $c$ и $a$ положительны, можно извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства:

$ \sqrt{c^2} > \sqrt{a^2} $

$ c > a $

2. Сравним $c$ и $b$. Аналогично, из $c^2 = a^2 + b^2$ и того факта, что $a^2 > 0$, следует, что $c^2 > b^2$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$ \sqrt{c^2} > \sqrt{b^2} $

$ c > b $

Таким образом, мы показали, что длина гипотенузы $c$ больше длины любого из катетов ($a$ или $b$).

Ответ: Доказано, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов.