Номер 3, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 4. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 3, страница 88.

3 Докажите, что в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника и определениями различных видов углов. Пусть в произвольном треугольнике углы равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма всегда равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Вспомним, что острый угол — это угол меньше $90^\circ$, прямой — равен $90^\circ$, а тупой — больше $90^\circ$.

Докажем, что в любом треугольнике есть по крайней мере два острых угла. Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что в треугольнике имеется менее двух острых углов, то есть только один или ни одного. Если бы в треугольнике был только один острый угол (или ни одного), то как минимум два угла были бы не острыми, то есть прямыми или тупыми. Пусть это углы $\beta$ и $\gamma$. Тогда $\beta \ge 90^\circ$ и $\gamma \ge 90^\circ$.

Их сумма была бы $\beta + \gamma \ge 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Поскольку сумма всех трех углов треугольника равна $180^\circ$, то для третьего угла $\alpha$ остается $\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma)$. Так как $\beta + \gamma \ge 180^\circ$, то для угла $\alpha$ получается $\alpha \le 0^\circ$. Но угол в треугольнике должен быть строго положительным. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение неверно, и в любом треугольнике всегда есть как минимум два острых угла.

Теперь, когда мы установили, что в любом треугольнике есть как минимум два острых угла, рассмотрим третий угол. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — это два острых угла. Для третьего угла $\gamma$ возможны следующие варианты:

1. Третий угол $\gamma$ является острым ($\gamma < 90^\circ$). В этом случае все три угла треугольника — острые. Это соответствует первой части утверждения: "либо все углы острые".

2. Третий угол $\gamma$ является прямым ($\gamma = 90^\circ$) или тупым ($\gamma > 90^\circ$). В этом случае в треугольнике два острых угла, а третий — прямой или тупой. Это соответствует второй части утверждения: "либо два угла острые, а третий тупой или прямой".

Так как других вариантов для третьего угла нет, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. В основе доказательства лежит тот факт, что в треугольнике не может быть двух углов, которые не являются острыми (т.е. прямых или тупых), так как их сумма была бы равна или превышала $180^\circ$, что невозможно для углов одного треугольника. Следовательно, в треугольнике всегда есть как минимум два острых угла. Третий же угол определяет тип треугольника: если он острый — все углы острые; если он прямой или тупой — то в треугольнике два острых угла и один прямой или тупой.