Номер 6, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 4. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 6, страница 88.

6 Докажите, что в треугольнике:

1) против большей стороны лежит больший угол;

2) обратно, против большего угла лежит бо€льшая сторона.

1) против большей стороны лежит больший угол;

Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Пусть сторона $AC$ этого треугольника больше стороны $AB$, то есть $AC > AB$. Докажем, что угол $\angle B$, лежащий против стороны $AC$, больше угла $\angle C$, лежащего против стороны $AB$.

Для доказательства используем метод геометрического построения. Отложим на большей стороне $AC$ от вершины $A$ отрезок $AD$, равный по длине стороне $AB$. Так как по условию $AC > AB$, точка $D$ будет лежать между точками $A$ и $C$.

Соединим точки $B$ и $D$. В результате построения мы получили треугольник $\triangle ABD$. Этот треугольник является равнобедренным, поскольку две его стороны равны: $AB = AD$ по построению. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle ABD = \angle ADB$.

Теперь рассмотрим угол $\angle ADB$. Он является внешним углом для треугольника $\triangle BDC$. По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Следовательно, $\angle ADB > \angle C$ (где $\angle C$ это $\angle BCD$).

Так как мы установили, что $\angle ABD = \angle ADB$, мы можем заменить $\angle ADB$ в предыдущем неравенстве и получить, что $\angle ABD > \angle C$.

Рассмотрим угол $\angle B$ исходного треугольника $\triangle ABC$. Он состоит из двух углов: $\angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$. Так как $\angle DBC$ — это угол треугольника, его градусная мера положительна. Отсюда следует, что $\angle B$ больше своей части, то есть $\angle B > \angle ABD$.

Мы получили следующую цепочку неравенств: $\angle B > \angle ABD$ и $\angle ABD > \angle C$. Из этого логически следует, что $\angle B > \angle C$.

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике против большей стороны ($AC$) лежит больший угол ($\angle B$).

Ответ: Утверждение доказано. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Докажем это утверждение, которое является обратным к первому, методом от противного.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$, в котором угол $\angle B$ больше угла $\angle C$, то есть $\angle B > \angle C$. Нам нужно доказать, что сторона $AC$, лежащая против угла $\angle B$, больше стороны $AB$, лежащей против угла $\angle C$.

Предположим, что наше утверждение неверно. То есть, предположим, что сторона $AC$ не больше стороны $AB$, что означает $AC \le AB$. Это предположение можно разбить на два случая:

1. Сторона $AC$ равна стороне $AB$ ($AC = AB$). Если стороны равны, то треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных сторон, также равны. Следовательно, $\angle B = \angle C$. Это прямо противоречит нашему исходному условию, что $\angle B > \angle C$. Значит, этот случай невозможен.
2. Сторона $AC$ меньше стороны $AB$ ($AC < AB$). Согласно теореме, доказанной в пункте 1, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Если $AB > AC$, то и угол, лежащий против стороны $AB$ (то есть $\angle C$), должен быть больше угла, лежащего против стороны $AC$ (то есть $\angle B$). Таким образом, должно выполняться неравенство $\angle C > \angle B$. Это также прямо противоречит нашему исходному условию, что $\angle B > \angle C$. Значит, и этот случай невозможен.

Поскольку оба случая, вытекающие из нашего предположения ($AC \le AB$), привели нас к противоречию с условием задачи, наше первоначальное предположение было неверным. Единственной оставшейся возможностью является то, что $AC > AB$.

Ответ: Утверждение доказано. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.